Найдите координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудалённой от точек N (-5;12) и S (4;-3).
Чтобы найти координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудалённой от точек \( N(-5; 12) \) и \( S(4; -3) \), начнём с некоторых определений и шагов.
Шаг 1: Определение оси ординат
Ось ординат — это вертикальная линия на координатной плоскости, где все точки имеют координаты вида \( (0; y) \). Мы ищем точку, которая имеет координаты \( (0; y) \).
Шаг 2: Условие равноудалённости
Пусть точка, которую мы ищем, обозначается как \( P(0; y) \). Для того чтобы эта точка была равноудалённой от точек \( N(-5; 12) \) и \( S(4; -3) \) нужно, чтобы расстояния от \( P \) до \( N \) и до \( S \) были равны:
\[ d(P, N) = d(P, S) \]
Шаг 3: Выражение расстояний
Расстояние между двумя точками \( (x_1; y_1) \) и \( (x_2; y_2) \) вычисляется по формуле:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Теперь подставим в эту формулу точки \( P(0; y) \), \( N(-5; 12) \) и \( S(4; -3) \):
- Расстояние от \( P \) до \( N \):
\[ d(P, N) = \sqrt{(0 - (-5))^2 + (y - 12)^2} = \sqrt{5^2 + (y - 12)^2} = \sqrt{25 + (y - 12)^2} \]
- Расстояние от \( P \) до \( S \):
\[ d(P, S) = \sqrt{(0 - 4)^2 + (y - (-3))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (y + 3)^2} = \sqrt{16 + (y + 3)^2} \]
Шаг 4: Установка равенства и решение уравнения
Теперь мы можем установить равенство двух найденных расстояний:
\[ \sqrt{25 + (y - 12)^2} = \sqrt{16 + (y + 3)^2} \]
Шаг 5: Квадратирование обеих частей
Чтобы избавиться от квадратного корня, обе стороны уравнения возведём в квадрат:
\[ 25 + (y - 12)^2 = 16 + (y + 3)^2 \]
Раскроем скобки:
\[ 25 + (y^2 - 24y + 144) = 16 + (y^2 + 6y + 9) \]
Упрощаем уравнение:
\[ 25 + y^2 - 24y + 144 = 16 + y^2 + 6y + 9 \]
Сокращаем \( y^2 \) с обеих сторон:
\[ 169 - 24y = 25 + 6y \]
Шаг 6: Переносим все члены с \( y \) в одну сторону
\[ 169 - 25 = 24y + 6y \] \[ 144 = 30y \]
Шаг 7: Находим \( y \)
Делим обе стороны на 30:
\[ y = \frac{144}{30} = \frac{24}{5} = 4.8 \]
Шаг 8: Ответ
Координаты искомой точки \( P \) равны:
\[ P(0; 4.8) \]
Итак, искомая точка, принадлежащая оси ординат и равноудалённая от точек \( N(-5; 12) \) и \( S(4; -3) \), имеет координаты \( (0; 4.8) \).
