Если игрок выигрывает партию, он зарабатывает 1 балл, если проигрывает - -1 балл, а в случае ничьей- 0 баллов. Мила выигрывает с вероятностью 0,6 , а проигрывает с вероятность. 0,1. Постройте ряд распределения и вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение числа очков, которые может набрать Мила в двух партиях
Чтобы решить задачу, рассмотрим вероятности и результаты, которые могут произойти в двух партиях, а затем вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
### Шаг 1: Определение исходов и вероятностей
1. Пусть игрок (Мила) может получить следующие результаты в каждой партии:
- **1 балл** за победу (вероятность 0,6)
- **-1 балл** за проигрыш (вероятность 0,1)
- **0 баллов** за ничью (вероятность 1 - 0,6 - 0,1 = 0,3)
2. Теперь попробуем записать исходы для двух партий и соответствующие вероятности для каждого исхода:
- **Ситуация 1**: Победа в первой партии и победа во второй партии (1 + 1 = 2)
- Вероятность: \(0,6 \times 0,6 = 0,36\)
- **Ситуация 2**: Победа в первой партии и ничья во второй партии (1 + 0 = 1)
- Вероятность: \(0,6 \times 0,3 = 0,18\)
- **Ситуация 3**: Победа в первой партии и проигрыш во второй партии (1 - 1 = 0)
- Вероятность: \(0,6 \times 0,1 = 0,06\)
- **Ситуация 4**: Ничья в первой партии и победа во второй партии (0 + 1 = 1)
- Вероятность: \(0,3 \times 0,6 = 0,18\)
- **Ситуация 5**: Ничья в первой партии и ничья во второй партии (0 + 0 = 0)
- Вероятность: \(0,3 \times 0,3 = 0,09\)
- **Ситуация 6**: Ничья в первой партии и проигрыш во второй партии (0 - 1 = -1)
- Вероятность: \(0,3 \times 0,1 = 0,03\)
- **Ситуация 7**: Проигрыш в первой партии и победа во второй партии (-1 + 1 = 0)
- Вероятность: \(0,1 \times 0,6 = 0,06\)
- **Ситуация 8**: Проигрыш в первой партии и ничья во второй партии (-1 + 0 = -1)
- Вероятность: \(0,1 \times 0,3 = 0,03\)
- **Ситуация 9**: Проигрыш в первой партии и проигрыш во второй партии (-1 - 1 = -2)
- Вероятность: \(0,1 \times 0,1 = 0,01\)
### Шаг 2: Определение итогового ряда распределения
Теперь мы можем собрать результаты и их вероятности:
| Количество очков | Вероятность |
|-------------------|-------------|
| 2 | 0,36 |
| 1 | 0,36 |
| 0 | 0,12 |
| -1 | 0,06 |
| -2 | 0,01 |
### Шаг 3: Вычисление математического ожидания
Чтобы найти математическое ожидание \(E(X)\), мы используем формулу:
\[
E(X) = \sum (x_i \cdot p_i)
\]
где \(x_i\) — количество очков, а \(p_i\) — соответствующая вероятность.
\[
E(X) = 2 \cdot 0,36 + 1 \cdot 0,36 + 0 \cdot 0,12 - 1 \cdot 0,06 - 2 \cdot 0,01
\]
\[
E(X) = 0,72 + 0,36 + 0 - 0,06 - 0,02 = 1,0
\]
### Шаг 4: Вычисление дисперсии
Дисперсия \(D(X)\) вычисляется по формуле:
\[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
\]
Сначала найдем \(E(X^2)\):
\[
E(X^2) = \sum (x_i^2 \cdot p_i)
\]
\[
E(X^2) = 2^2 \cdot 0,36 + 1^2 \cdot 0,36 + 0^2 \cdot 0,12 + (-1)^2 \cdot 0,06 + (-2)^2 \cdot 0,01
\]
\[
E(X^2) = 4 \cdot 0,36 + 1 \cdot 0,36 + 0 + 1 \cdot 0,06 + 4 \cdot 0,01
\]
\[
E(X^2) = 1,44 + 0,36 + 0 + 0,06 + 0,04 = 1,90
\]
Теперь можем найти дисперсию:
\[
D(X) = 1,90 - 1,0^2 = 1,90 - 1,0 = 0,90
\]
### Шаг 5: Вычисление Среднего Квадратичного Отклонения
Среднее квадратичное отклонение \(σ\) — это корень квадратный из дисперсии:
\[
σ = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0,90} \approx 0,95
\]
### Итог
- Математическое ожидание: \(E(X) = 1,0\)
- Дисперсия: \(D(X) = 0,90\)
- Среднее квадратичное отклонение: \(σ \approx 0,95\)
Это решение охватывает все шаги для определения распределения очков и вычислению необходимых статистических характеристик.
