Решим неравенство ( x^2 + y^2 \leq 2y + 9 ) с помощью пошагового объяснения.
Шаг 1: Приведем неравенство к стандартному виду
Для начала упрощаем данное неравенство:
[
x^2 + y^2 - 2y - 9 \leq 0
]
Теперь можем преобразовать часть, связанную с ( y ):
[
x^2 + (y^2 - 2y) - 9 \leq 0
]
Чтобы упростить ( y^2 - 2y ), воспользуемся полным квадратом:
[
y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1
]
Шаг 2: Подставим обратно в неравенство
Теперь можно переписать неравенство:
[
x^2 + ((y - 1)^2 - 1) - 9 \leq 0
]
Упрощаем это:
[
x^2 + (y - 1)^2 - 10 \leq 0
]
Шаг 3: Изолируем квадрат
Изолируем квадратную часть:
[
x^2 + (y - 1)^2 \leq 10
]
Это записывается как неравенство, описывающее круг в координатной плоскости.
Шаг 4: Интерпретация решения
Ответ представляет область, включающую все точки внутри (и на границе) круга радиуса (\sqrt{10}), центрированного в точке (0, 1):
- Центр круга: (0, 1)
- Радиус круга: (\sqrt{10})
Шаг 5: Заключение
Графически это означает, что любые значения ( (x, y) ), удовлетворяющие нашему неравенству, находятся внутри данного круга. Все эти точки являются решениями неравенства ( x^2 + y^2 \leq 2y + 9 ).
Если у вас есть дополнительные вопросы по этому решению, не стесняйтесь спрашивать!
