Постройте график функции y = x ^ 2 + 4x - 5 Найдите с помощью графика:
а) значение функции, если значение аргумента равно 1,5
б) значениях, при которых функция возрастает; убывает;
в) нули функции;
г) значениях, при которых функция отрицательна; положительна.
Давайте подробно разберем задачу, связанную с построением графика функции \( y = x^2 + 4x - 5 \) и нахождением различных характеристик этой функции.
### Шаг 1: Построение графика функции
Функция \( y = x^2 + 4x - 5 \) является квадратной (парабола). Чтобы построить график:
1. **Находим вершину параболы**. Вершина параболы для функции вида \( y = ax^2 + bx + c \) находится по формуле:
\[
x_{\text{верш}} = -\frac{b}{2a}
\]
Здесь \( a = 1 \), \( b = 4 \), следовательно:
\[
x_{\text{верш}} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2
\]
Подставим \( x_{\text{верш}} \) в функцию, чтобы найти координату \( y \):
\[
y_{\text{верш}} = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9
\]
Вершина параболы: \( (-2, -9) \).
2. **Находим нули функции**. Чтобы найти значения \( x \), при которых \( y = 0 \), решаем уравнение:
\[
x^2 + 4x - 5 = 0
\]
Используем дискриминант:
\[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36
\]
Теперь найдем корни:
\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 6}{2} = 1
\]
\[
x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 6}{2} = -5
\]
Таким образом, нули функции: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -5 \).
3. **Определяем направление ветвей**. Поскольку \( a > 0 \) (равно 1), парабола открыта вверх.
### Шаг 2: Анализ функции
а) **Значение функции в точке \( x = 1.5 \)**:
Подставляем \( x = 1.5 \) в функцию:
\[
y = (1.5)^2 + 4(1.5) - 5 = 2.25 + 6 - 5 = 3.25
\]
Значение функции при \( x = 1.5 \) равно **3.25**.
б) **Значения, при которых функция возрастает и убывает**:
- Функция убывает на интервале, где \( x \) меньше, чем координата вершины \( x = -2 \) (то есть на интервале \( (-\infty, -2) \)).
- Функция возрастает на интервале, где \( x \) больше, чем координата вершины \( x = -2 \) (то есть на интервале \( (-2, +\infty) \)).
в) **Нули функции**:
Нули функции были найдены ранее: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -5 \).
г) **Значения, при которых функция отрицательна и положительна**:
- Функция отрицательна на интервале \( (-5, 1) \) (между нулями), так как в этих пределах парабола находится ниже оси \( x \).
- Функция положительна на интервалах \( (-\infty, -5) \) и \( (1, +\infty) \) (вне нулей).
### Итоговые результаты:
- Значение функции при \( x = 1.5 \): **3.25**
- Функция убывает на \( (-\infty, -2) \) и возрастает на \( (-2, +\infty) \).
- Нули функции: \( x = 1 \), \( x = -5 \).
- Функция отрицательна на \( (-5, 1) \) и положительна на \( (-\infty, -5) \) и \( (1, +\infty) \).
Построив график функции, вы сможете визуально подтвердить эти результаты.
