Постройте график функции y = x ^ 2 + 4x - 5 Найдите с помощью графика: а) значение функции, если значение аргумента равно 1,5 б) значениях, при которых функция возрастает;…

Давайте подробно разберем задачу, связанную с построением графика функции \( y = x^2 + 4x - 5 \) и нахождением различных характеристик этой функции.

Шаг 1: Построение графика функции

Функция \( y = x^2 + 4x - 5 \) является квадратной (парабола). Чтобы построить график:

1. Находим вершину параболы. Вершина параболы для функции вида \( y = ax^2 + bx + c \) находится по формуле: \[ x_{\text{верш}} = -\frac{b}{2a} \] Здесь \( a = 1 \), \( b = 4 \), следовательно: \[ x_{\text{верш}} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 \]

   Подставим \( x_{\text{верш}} \) в функцию, чтобы найти координату \( y \): \[ y_{\text{верш}} = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 \] Вершина параболы: \( (-2, -9) \).

2. Находим нули функции. Чтобы найти значения \( x \), при которых \( y = 0 \), решаем уравнение: \[ x^2 + 4x - 5 = 0 \] Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \] Теперь найдем корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 6}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 6}{2} = -5 \] Таким образом, нули функции: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -5 \).

3. Определяем направление ветвей. Поскольку \( a > 0 \) (равно 1), парабола открыта вверх.

Шаг 2: Анализ функции

а) Значение функции в точке \( x = 1.5 \): Подставляем \( x = 1.5 \) в функцию: \[ y = (1.5)^2 + 4(1.5) - 5 = 2.25 + 6 - 5 = 3.25 \] Значение функции при \( x = 1.5 \) равно 3.25.

б) Значения, при которых функция возрастает и убывает:

• Функция убывает на интервале, где \( x \) меньше, чем координата вершины \( x = -2 \) (то есть на интервале \( (-\infty, -2) \)).
• Функция возрастает на интервале, где \( x \) больше, чем координата вершины \( x = -2 \) (то есть на интервале \( (-2, +\infty) \)).

в) Нули функции: Нули функции были найдены ранее: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -5 \).

г) Значения, при которых функция отрицательна и положительна:

• Функция отрицательна на интервале \( (-5, 1) \) (между нулями), так как в этих пределах парабола находится ниже оси \( x \).
• Функция положительна на интервалах \( (-\infty, -5) \) и \( (1, +\infty) \) (вне нулей).

Итоговые результаты:

• Значение функции при \( x = 1.5 \): 3.25
• Функция убывает на \( (-\infty, -2) \) и возрастает на \( (-2, +\infty) \).
• Нули функции: \( x = 1 \), \( x = -5 \).
• Функция отрицательна на \( (-5, 1) \) и положительна на \( (-\infty, -5) \) и \( (1, +\infty) \).

Построив график функции, вы сможете визуально подтвердить эти результаты.