Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником и найти его площадь, выполним следующие шаги.
Шаг 1: Проверка перпендикулярности сторон
Для начала нам нужно проверить, являются ли две соседние стороны равными и перпендикулярными. Для этого найдем векторы сторон AB, BC, CD и DA.
Вектор AB:
[
AB = (B_x - A_x, B_y - A_y) = (15 - 13, 6 - 4) = (2, 2)
]
Вектор BC:
[
BC = (C_x - B_x, C_y - B_y) = (9 - 15, 12 - 6) = (-6, 6)
]
Вектор CD:
[
CD = (D_x - C_x, D_y - C_y) = (7 - 9, 10 - 12) = (-2, -2)
]
Вектор DA:
[
DA = (A_x - D_x, A_y - D_y) = (13 - 7, 4 - 10) = (6, -6)
]
Теперь, для проверки перпендикулярности, воспользуемся скалярным произведением векторов. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
Первая пара: AB и BC
[
AB \cdot BC = (2, 2) \cdot (-6, 6) = 2 \cdot (-6) + 2 \cdot 6 = -12 + 12 = 0
]
(перпендикулярны)
Вторая пара: BC и CD
[
BC \cdot CD = (-6, 6) \cdot (-2, -2) = -6 \cdot (-2) + 6 \cdot (-2) = 12 - 12 = 0
]
(перпендикулярны)
Третья пара: CD и DA
[
CD \cdot DA = (-2, -2) \cdot (6, -6) = -2 \cdot 6 + (-2) \cdot (-6) = -12 + 12 = 0
]
(перпендикулярны)
Четвёртая пара: DA и AB
[
DA \cdot AB = (6, -6) \cdot (2, 2) = 6 \cdot 2 + (-6) \cdot 2 = 12 - 12 = 0
]
(перпендикулярны)
Так как все пары соседних сторон перпендикулярны, это доказывает, что ABCD является прямоугольником.
Шаг 2: Найдем площадь ABCD
Площадь прямоугольника можно найти по формуле:
[
S = |AB| \times |BC|
]
Сначала найдем длины сторон AB и BC.
Длина AB:
[
|AB| = \sqrt{(B_x - A_x)^2 + (B_y - A_y)^2} = \sqrt{(2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
]
Длина BC:
[
|BC| = \sqrt{(C_x - B_x)^2 + (C_y - B_y)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}
]
Теперь подставим значения в формулу для площади:
[
S = |AB| \times |BC| = (2\sqrt{2}) \times (6\sqrt{2}) = 12 \cdot 2 = 24
]
Ответ
Таким образом, мы доказали, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, и его площадь равна 24.
