Дана окружность с центром  O O и радиусом  R R. В ней провели хорду  M N MN так, что  ∠ M O N = 90 ° ∠MON=90°. Чему равен угол  M N O MNO? Запиши ответ числом.  ∠ M N O = ∠MNO=  ° °

Чтобы найти угол \( \angle MNO \) в данной задаче, нам нужно использовать некоторые свойства окружности. 1. **Определим известные данные:** - Дана окружность с центром \( O \) и радиусом \( R \). - Хорда \( MN \) проведена так, что угол \( \angle MON = 90^\circ \). 2. **Понять, что значит угол \( \angle MON = 90^\circ \):** - Угол, образованный двумя радиусами \( OM \) и \( ON \) к хорде \( MN \) равен \( 90^\circ \). Это значит, что точки \( M \) и \( N \) находятся на окружности, и радиусы \( OM \) и \( ON \) перпендикулярны к хорде \( MN \). 3. **Изучаем свойства углов в окружности:** - Согласно теореме о перпендикуляре, проведённом из центра окружности к хорде, если угол \( \angle MON = 90^\circ \), то хорда \( MN \) делится пополам. - Это значит, что радиусы \( OM \) и \( ON \) равны между собой. Кроме того, каждый из углов \( \angle MNO \) и \( \angle NMO \) образуется между радиусом и хордой. 4. **Применяем свойства треугольника:** - Рассмотрим треугольник \( OMN \). У нас есть угол \( \angle MON = 90^\circ \). - Сумма углов в любом треугольнике равна \( 180^\circ \). Таким образом: \[ \angle MNO + \angle NMO + \angle MON = 180^\circ \] Подставим известные значения: \[ \angle MNO + \angle NMO + 90^\circ = 180^\circ \] 5. **Простое вычисление:** - Это уравнение можно упростить: \[ \angle MNO + \angle NMO = 180^\circ - 90^\circ \] \[ \angle MNO + \angle NMO = 90^\circ \] Так как треугольник \( OMN \) является равнобедренным (радиусы равны), мы можем предположить, что углы \( MNO \) и \( NMO \) равны: \[ 2 \angle MNO = 90^\circ \] Разделим обе стороны на 2: \[ \angle MNO = 45^\circ \] **Ответ:** \[ \angle MNO = 45^\circ \]