Дана окружность с центром O O и радиусом R R . В ней провели хорду M N MN так, что ∠ M O N = 90 ° ∠MON=90° . Чему равен угол M N O MNO ? Запиши ответ числом. ∠ M N O = ∠MNO= ° °

Чтобы найти угол \( \angle MNO \) в данной задаче, нам нужно использовать некоторые свойства окружности.

1. Определим известные данные:

   • Дана окружность с центром \( O \) и радиусом \( R \).
   • Хорда \( MN \) проведена так, что угол \( \angle MON = 90^\circ \).

2. Понять, что значит угол \( \angle MON = 90^\circ \):

   • Угол, образованный двумя радиусами \( OM \) и \( ON \) к хорде \( MN \) равен \( 90^\circ \). Это значит, что точки \( M \) и \( N \) находятся на окружности, и радиусы \( OM \) и \( ON \) перпендикулярны к хорде \( MN \).

3. Изучаем свойства углов в окружности:

   • Согласно теореме о перпендикуляре, проведённом из центра окружности к хорде, если угол \( \angle MON = 90^\circ \), то хорда \( MN \) делится пополам.
   • Это значит, что радиусы \( OM \) и \( ON \) равны между собой. Кроме того, каждый из углов \( \angle MNO \) и \( \angle NMO \) образуется между радиусом и хордой.

4. Применяем свойства треугольника:

   • Рассмотрим треугольник \( OMN \). У нас есть угол \( \angle MON = 90^\circ \).
   • Сумма углов в любом треугольнике равна \( 180^\circ \). Таким образом: \[ \angle MNO + \angle NMO + \angle MON = 180^\circ \] Подставим известные значения: \[ \angle MNO + \angle NMO + 90^\circ = 180^\circ \]

5. Простое вычисление:

   • Это уравнение можно упростить: \[ \angle MNO + \angle NMO = 180^\circ - 90^\circ \] \[ \angle MNO + \angle NMO = 90^\circ \] Так как треугольник \( OMN \) является равнобедренным (радиусы равны), мы можем предположить, что углы \( MNO \) и \( NMO \) равны: \[ 2 \angle MNO = 90^\circ \] Разделим обе стороны на 2: \[ \angle MNO = 45^\circ \]

Ответ:
\[ \angle MNO = 45^\circ \]