Для решения задачи о количестве элементарных событий в серии из 8 испытаний Бернулли, где необходимо получить 5 успехов, воспользуемся формулой для вычисления числа комбинаций.
Шаг 1: Понимание ситуации
Случайные испытания Бернулли - это такие эксперименты, где есть только два возможных исхода: "успех" и "неудача". Например, это может быть подбрасывание монеты, где "орел" соответствует успеху, а "решка" - неудаче.
В нашем случае:
- Общее количество испытаний (n) = 8
- Количество успехов (k) = 5
Шаг 2: Вычисление количества комбинаций
Количество элементарных событий, благоприятствующих k успехам из n испытаний, можно вычислить с помощью биномиального коэффициента, который обозначается как C(n, k) и рассчитывается по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где:
- ( n! ) – факториал n (n умножить на n-1, и так далее, вплоть до 1),
- ( k! ) – факториал k,
- ( (n-k)! ) – факториал (n-k).
Шаг 3: Подставление значений в формулу
Теперь подставим в формулу наши значения:
[
C(8, 5) = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5! \cdot 3!}
]
Шаг 4: Вычисление факториалов
Вычислим факториалы:
- ( 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5! )
- ( 5! = 120 )
- ( 3! = 6 )
Теперь подставим это значение в формулу:
[
C(8, 5) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6}
]
Шаг 5: Упрощение
Сократим:
[
C(8, 5) = 8 \times 7 = 56
]
Ответ
Итак, количество элементарных событий, благоприятствующих 5 успехам из 8 испытаний Бернулли, составляет 56.
