Как много элементарных событий в серии из 8 испытаний Бернулли благоприятствует 5 успехом

Для решения задачи о количестве элементарных событий в серии из 8 испытаний Бернулли, где необходимо получить 5 успехов, воспользуемся формулой для вычисления числа комбинаций.

Шаг 1: Понимание ситуации

Случайные испытания Бернулли - это такие эксперименты, где есть только два возможных исхода: "успех" и "неудача". Например, это может быть подбрасывание монеты, где "орел" соответствует успеху, а "решка" - неудаче.

В нашем случае:

• Общее количество испытаний (n) = 8
• Количество успехов (k) = 5

Шаг 2: Вычисление количества комбинаций

Количество элементарных событий, благоприятствующих k успехам из n испытаний, можно вычислить с помощью биномиального коэффициента, который обозначается как C(n, k) и рассчитывается по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \( n! \) – факториал n (n умножить на n-1, и так далее, вплоть до 1),
• \( k! \) – факториал k,
• \( (n-k)! \) – факториал (n-k).

Шаг 3: Подставление значений в формулу

Теперь подставим в формулу наши значения:

• n = 8
• k = 5

\[ C(8, 5) = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} \]

Шаг 4: Вычисление факториалов

Вычислим факториалы:

• \( 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5! \)
• \( 5! = 120 \)
• \( 3! = 6 \)

Теперь подставим это значение в формулу:

\[ C(8, 5) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} \]

Шаг 5: Упрощение

Сократим:

\[ C(8, 5) = 8 \times 7 = 56 \]

Ответ

Итак, количество элементарных событий, благоприятствующих 5 успехам из 8 испытаний Бернулли, составляет 56.