У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 360 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счету отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см

Для решения задачи, давайте сначала проанализируем, что происходит с высотой, на которую поднимается мяч после каждого отскока. 1. **Начальная высота**: После первого отскока мяч подлетает на высоту 360 см. 2. **Последующие высоты**: Высота после каждого следующего отскока становится в три раза меньше предыдущей. То есть высоты отскоков будут рассчитываться следующим образом: - Первый отскок: \( h_1 = 360 \) см - Второй отскок: \( h_2 = \frac{h_1}{3} = \frac{360}{3} = 120 \) см - Третий отскок: \( h_3 = \frac{h_2}{3} = \frac{120}{3} = 40 \) см - Четвертый отскок: \( h_4 = \frac{h_3}{3} = \frac{40}{3} \approx 13.33 \) см Обратите внимание, что в этой последовательности высота после каждого отскока считается как \( h_n = \frac{360}{3^{n-1}} \), где \( n \) - номер отскока. 3. **Нахождение высоты**: Нам нужно определить, после какого отскока высота станет меньше 15 см. Это можно выразить через неравенство: \[ h_n < 15 \] Подставим выражение для \( h_n \): \[ \frac{360}{3^{n-1}} < 15 \] 4. **Решим неравенство**: Умножим обе стороны на \( 3^{n-1} \) (это не отрицательное число, и неравенство не изменится): \[ 360 < 15 \cdot 3^{n-1} \] Разделим обе стороны на 15: \[ 24 < 3^{n-1} \] 5. **Определим \( n \)**: Теперь нам нужно найти, при каком \( n \) это неравенство верно. Вычислим \( n \): - \( n = 1 \): \( 3^{1-1} = 3^0 = 1 \) - \( n = 2 \): \( 3^{2-1} = 3^1 = 3 \) - \( n = 3 \): \( 3^{3-1} = 3^2 = 9 \) - \( n = 4 \): \( 3^{4-1} = 3^3 = 27 \) Результат показывает, что: - Для \( n = 3 \) высота \( 9 \) см, это меньше \( 15 \). - Для \( n = 4 \) высота \( 27 \) см, это больше \( 15 \). - Для \( n = 5 \) высота \( \frac{40}{3} \approx 13.33 \) см, это также меньше \( 15 \). То есть, начиная с 5-го отскока высота станет меньше 15 см. 6. **Ответ**: Таким образом, высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см после 5-го отскока.