Высота правильной 4х угольной пирамиды равна 2√2 двугранный угол при стороне основания равен 45 градусов найти площадь поверхности пирамиды

Для нахождения площади поверхности правильной четырехугольной пирамиды, будем использовать данные, которые у нас есть. **Входные данные:** - Высота пирамиды \( h = 2\sqrt{2} \) - Двугранный угол при основании \( \alpha = 45^\circ \) 1. **Определим основание пирамиды:** Пусть основание - квадрат со стороной \( a \). Поскольку пирамиды правильные, высота будет перпендикулярна основанию. 2. **Найдем длину стороны основания \( a \):** Угол \( \alpha \) формируется между высотой и линией, соединяющей вершину пирамиды с центром основания и вершиной основания. Это значит, что \( \tan(\alpha) = \frac{h}{\frac{a}{2}} \). Подставим значения: \[ \tan(45^\circ) = 1 \Rightarrow \frac{2\sqrt{2}}{\frac{a}{2}} = 1 \] Таким образом, \[ 2\sqrt{2} = \frac{a}{2} \Rightarrow a = 4\sqrt{2} \] 3. **Найдем площадь основания:** Площадь квадрата \( S_{осн} \): \[ S_{осн} = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32 \] 4. **Вычислим площадь боковых граней:** Боковые грани - это 4 треугольника с основанием \( a \) и высотой, равной расстоянию от вершины до середины стороны квадрата. Сторона треугольника равна \( a = 4\sqrt{2} \). Высота бокового треугольника \( h_{бок} \) будет равна: \(\sqrt{(h^2 + (\frac{a}{2})^2)}\), откуда: \[ h_{бок} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4 \] Площадь одного бокового треугольника: \[ S_{бок}^{треуг} = \frac{1}{2} \times a \times h_{бок} = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 4 = 8\sqrt{2} \] Площадь всех боковых граней (4 треугольника): \[ S_{бок} = 4 \times 8\sqrt{2} = 32\sqrt{2} \] 5. **Теперь найдем полную площадь поверхности пирамиды:** \[ S_{пов} = S_{осн} + S_{бок} = 32 + 32\sqrt{2} \] **Ответ:** Площадь поверхности пирамиды: \[ S_{пов} = 32 + 32\sqrt{2} \]