Петя с друзьями по субботам собираются и играют в настольные игры. Определи вероятность того, что при 4 Петиных подбрасываниях игральной кости только 1 раз выпадет 5.
Давайте разберем задачу по шагам и найдем вероятность того, что при 4 подбрасываниях игральной кости только один раз выпадет число 5.
Шаг 1: Определим общее количество попыток и удачные попытки
У нас есть 4 подбрасывания игральной кости. Обозначим:
- n — общее количество подбрасываний (в данном случае n = 4).
- k — количество удачных исходов (в данном случае k = 1, поскольку нам нужно, чтобы 5 выпало только один раз).
Шаг 2: Вероятность удачного и неудачного исхода
Вероятность того, что при одном подбрасывании игральной кости выпадет 5:
- Вероятность (P) = 1/6 (так как кость имеет 6 граней и только одна из них — 5).
Вероятность того, что выпадет не 5 (то есть любые другие числа 1, 2, 3, 4 или 6):
- Вероятность (P') = 5/6.
Шаг 3: Используем формулу биномиального распределения
Вероятность того, что событие произойдет k раз в n независимых испытаниях, можно найти по formule биномиального распределения:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot (P)^k \cdot (P')^{(n-k)} \]
где:
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который можно посчитать по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Теперь подставим наши значения:
Шаг 4: Рассчитаем биномиальный коэффициент
Для n = 4 и k = 1:
\[ C(4, 1) = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1! \cdot 3!} = \frac{4 \cdot 3!}{1 \cdot 3!} = 4 \]
Шаг 5: Подставим значения в формулу
Теперь подставляем все наши значения в формулу биномиального распределения:
\[ P(X = 1) = C(4, 1) \cdot (1/6)^1 \cdot (5/6)^{4-1} \]
\[ P(X = 1) = 4 \cdot (1/6)^1 \cdot (5/6)^3 \]
Шаг 6: Рассчитаем
Теперь нам нужно выполнить некоторые вычисления:
- \( (1/6)^1 = 1/6 \)
- \( (5/6)^3 = (125/216) \) (так как \( 5^3 = 125 \) и \( 6^3 = 216 \))
Итак, подставляем это:
\[ P(X = 1) = 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{125}{216} \]
Шаг 7: Упрощаем результат
Теперь умножим:
\[ P(X = 1) = \frac{4 \cdot 125}{6 \cdot 216} = \frac{500}{1296} \]
Шаг 8: Ответ
Итак, вероятность того, что при 4 подбрасываниях игральной кости только 1 раз выпадет 5, равна:
\[ \frac{500}{1296} \approx 0.3866 \]
Таким образом, вероятность составляет примерно 0.3866 или 38.66%.
