Давайте разберем задачу по шагам и найдем вероятность того, что при 4 подбрасываниях игральной кости только один раз выпадет число 5.
Шаг 1: Определим общее количество попыток и удачные попытки
У нас есть 4 подбрасывания игральной кости. Обозначим:
- n — общее количество подбрасываний (в данном случае n = 4).
- k — количество удачных исходов (в данном случае k = 1, поскольку нам нужно, чтобы 5 выпало только один раз).
Шаг 2: Вероятность удачного и неудачного исхода
Вероятность того, что при одном подбрасывании игральной кости выпадет 5:
- Вероятность (P) = 1/6 (так как кость имеет 6 граней и только одна из них — 5).
Вероятность того, что выпадет не 5 (то есть любые другие числа 1, 2, 3, 4 или 6):
Шаг 3: Используем формулу биномиального распределения
Вероятность того, что событие произойдет k раз в n независимых испытаниях, можно найти по formule биномиального распределения:
[ P(X = k) = C(n, k) \cdot (P)^k \cdot (P')^{(n-k)} ]
где:
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, который можно посчитать по формуле:
[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]
Теперь подставим наши значения:
Шаг 4: Рассчитаем биномиальный коэффициент
Для n = 4 и k = 1:
[ C(4, 1) = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1! \cdot 3!} = \frac{4 \cdot 3!}{1 \cdot 3!} = 4 ]
Шаг 5: Подставим значения в формулу
Теперь подставляем все наши значения в формулу биномиального распределения:
[ P(X = 1) = C(4, 1) \cdot (1/6)^1 \cdot (5/6)^{4-1} ]
[ P(X = 1) = 4 \cdot (1/6)^1 \cdot (5/6)^3 ]
Шаг 6: Рассчитаем
Теперь нам нужно выполнить некоторые вычисления:
- ( (1/6)^1 = 1/6 )
- ( (5/6)^3 = (125/216) ) (так как ( 5^3 = 125 ) и ( 6^3 = 216 ))
Итак, подставляем это:
[ P(X = 1) = 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{125}{216} ]
Шаг 7: Упрощаем результат
Теперь умножим:
[ P(X = 1) = \frac{4 \cdot 125}{6 \cdot 216} = \frac{500}{1296} ]
Шаг 8: Ответ
Итак, вероятность того, что при 4 подбрасываниях игральной кости только 1 раз выпадет 5, равна:
[ \frac{500}{1296} \approx 0.3866 ]
Таким образом, вероятность составляет примерно 0.3866 или 38.66%.
