Из города в село, находящееся от него на расстоянии 120 км, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного была на 20 км в ч больше скорости другого, и поэтому он пришел к…

Чтобы решить задачу, давайте обозначим скорости автомобилей и затем запишем соответствующие уравнения.

1. Обозначим переменные:

   • Пусть скорость первого автомобиля (более быстрого) равна \( v_1 \) км/ч.
   • Скорость второго автомобиля (медленного) равна \( v_2 \) км/ч.
   • По условию задачи, скоростя связаны следующим образом: \[ v_1 = v_2 + 20 \]

2. Используем информацию о времени:

   • Расстояние до места назначения – 120 км.
   • Время, которое требуется первому автомобилю, чтобы доехать до села, можно выразить как: \[ t_1 = \frac{120}{v_1} \]
   • Время, которое требуется второму автомобилю: \[ t_2 = \frac{120}{v_2} \]
   • Сказано, что первый автомобиль пришел на 1 час раньше второго, поэтому мы можем записать уравнение: \[ t_2 = t_1 + 1 \] Подставляем выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{120}{v_2} = \frac{120}{v_1} + 1 \]

3. Подставляем \( v_1 \): Сначала заменим \( v_1 \) на \( v_2 + 20 \): \[ \frac{120}{v_2} = \frac{120}{v_2 + 20} + 1 \]

4. Умножим все части уравнения на \( v_2(v_2 + 20) \) для устранения дробей: \[ 120(v_2 + 20) = 120v_2 + v_2(v_2 + 20) \] Раскроем скобки: \[ 120v_2 + 2400 = 120v_2 + v_2^2 + 20v_2 \] Упростим уравнение, убрав одинаковые члены: \[ 2400 = v_2^2 + 20v_2 \]

5. Перепишем уравнение: Переносим все элементы в одну сторону: \[ v_2^2 + 20v_2 - 2400 = 0 \]

6. Решаем квадратное уравнение: Мы можем использовать формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 400 + 9600 = 10000 \] Теперь находим корни: \[ v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 \pm 100}{2} \] Получаем два значения для \( v_2 \):

   • Первое: \[ v_2 = \frac{80}{2} = 40 \text{ км/ч} \]
   • Второе: \[ v_2 = \frac{-120}{2} = -60 \text{ км/ч (не подходим)} \]

7. Теперь вычислим \( v_1 \): Используя \( v_2 = 40 \) км/ч: \[ v_1 = v_2 + 20 = 40 + 20 = 60 \text{ км/ч} \]

8. Ответ:

   • Скорость первого автомобиля \( v_1 = 60 \) км/ч
   • Скорость второго автомобиля \( v_2 = 40 \) км/ч

Таким образом, скорости каждого автомобиля составляют 60 км/ч и 40 км/ч соответственно.