Из города в село, находящееся от него на расстоянии 120 км, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного была на 20 км в ч больше скорости другого, и поэтому он пришел к месту назначения на 1 ч раньше. Найдите скорость каждого автомобиля.

Чтобы решить задачу, давайте обозначим скорости автомобилей и затем запишем соответствующие уравнения. 1. **Обозначим переменные:** - Пусть скорость первого автомобиля (более быстрого) равна \( v_1 \) км/ч. - Скорость второго автомобиля (медленного) равна \( v_2 \) км/ч. - По условию задачи, скоростя связаны следующим образом: \[ v_1 = v_2 + 20 \] 2. **Используем информацию о времени:** - Расстояние до места назначения – 120 км. - Время, которое требуется первому автомобилю, чтобы доехать до села, можно выразить как: \[ t_1 = \frac{120}{v_1} \] - Время, которое требуется второму автомобилю: \[ t_2 = \frac{120}{v_2} \] - Сказано, что первый автомобиль пришел на 1 час раньше второго, поэтому мы можем записать уравнение: \[ t_2 = t_1 + 1 \] Подставляем выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{120}{v_2} = \frac{120}{v_1} + 1 \] 3. **Подставляем \( v_1 \):** Сначала заменим \( v_1 \) на \( v_2 + 20 \): \[ \frac{120}{v_2} = \frac{120}{v_2 + 20} + 1 \] 4. **Умножим все части уравнения на \( v_2(v_2 + 20) \) для устранения дробей:** \[ 120(v_2 + 20) = 120v_2 + v_2(v_2 + 20) \] Раскроем скобки: \[ 120v_2 + 2400 = 120v_2 + v_2^2 + 20v_2 \] Упростим уравнение, убрав одинаковые члены: \[ 2400 = v_2^2 + 20v_2 \] 5. **Перепишем уравнение:** Переносим все элементы в одну сторону: \[ v_2^2 + 20v_2 - 2400 = 0 \] 6. **Решаем квадратное уравнение:** Мы можем использовать формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2400) = 400 + 9600 = 10000 \] Теперь находим корни: \[ v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 \pm 100}{2} \] Получаем два значения для \( v_2 \): - Первое: \[ v_2 = \frac{80}{2} = 40 \text{ км/ч} \] - Второе: \[ v_2 = \frac{-120}{2} = -60 \text{ км/ч (не подходим)} \] 7. **Теперь вычислим \( v_1 \):** Используя \( v_2 = 40 \) км/ч: \[ v_1 = v_2 + 20 = 40 + 20 = 60 \text{ км/ч} \] 8. **Ответ:** - Скорость первого автомобиля \( v_1 = 60 \) км/ч - Скорость второго автомобиля \( v_2 = 40 \) км/ч Таким образом, скорости каждого автомобиля составляют 60 км/ч и 40 км/ч соответственно.