Для решения задачи начнём с построения графика функции ( y = 2x|x| - 3|x| - 3x ).
1. Разделим функцию на части в зависимости от знака ( x )
Функция ( |x| ) имеет разные выражения в зависимости от того, положительное у нас ( x ) или отрицательное. Рассмотрим два случая: ( x \geq 0 ) и ( x < 0 ).
Случай 1: ( x \geq 0 )
Здесь ( |x| = x ). Подставим это в функцию:
[
y = 2x \cdot x - 3x - 3x = 2x^2 - 6x
]
Случай 2: ( x < 0 )
Здесь ( |x| = -x ). Подставим это в функцию:
[
y = 2x \cdot (-x) - 3(-x) - 3x = -2x^2 + 3x - 3x = -2x^2
]
Таким образом, мы можем записать функцию как:
[
y =
\begin{cases}
2x^2 - 6x & \text{при } x \geq 0 \
-2x^2 & \text{при } x < 0
\end{cases}
]
2. Построим график функции
Для ( x \geq 0 ) (парабола, открытая вверх):
[
y = 2x^2 - 6x
]
Парабола имеет вершину в точке ( x = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{4} = 1.5 ). Вычислим значение в этой точке:
[
y(1.5) = 2(1.5)^2 - 6(1.5) = 2 \cdot 2.25 - 9 = 4.5 - 9 = -4.5
]
Таким образом, вершина находится в точке ( (1.5, -4.5) ).
Для ( x < 0 ) (парабола, открытая вниз):
[
y = -2x^2
]
Эта функция равна 0 в точке ( x = 0 ) и будет убывать на интервале ( (-\infty, 0) ).
3. Определим значения ( m ) для ровно двух общих точек
Чтобы прямая ( y = m ) имела ровно две общие точки с графиком, она должна касаться кривой один раз в области ( x < 0 ) (где ( y = -2x^2 )), а также раз пересекать кривую в области ( x \geq 0 ) (где ( y = 2x^2 - 6x )).
Условия касания:
Случай ( x < 0 ):
Для касания кривой ( y = -2x^2 ) прямая ( y = m ) должна проходить через вершину функции. Эта вершина равна ( 0 ) (так как ( -2x^2 ) проходит через ( (0, 0) )).
Случай ( x \geq 0 ):
Вершина параболы ( y = 2x^2 - 6x ) при ( m = -4.5 ) (это минимальное значение). Для равенства 2 точкам графика мы имеем:
[
2x^2 - 6x = m \quad \text{решение определяет два пересечения}
]
Это значит, что прямая должна пересечь график функции только один раз.
Итоговое значение ( m )
При анализе графиков можно заключить, что:
- ( m_1 = -4.5 ) (по высоте круга в области ( x \geq 0 ))
- ( m_2 = 0 ) к прямой в области ( x < 0 ).
Таким образом, только два значения ( m ) подходят:
[
m_1 = -4.5, \quad m_2 = 0
]
Ответ:
Записываем в порядке возрастания:
[
-4.500
]
Финальный ответ (без пробелов и дополнительных символов):
-4.500
