На одной из кафедр университета работают 13 человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Десять человек знают английский, семеро — немецкий, шестеро —…

Для решения задачи воспользуемся принципом включения-исключения. Обозначим:

• \( A \) — множество людей, знающих английский язык (|A| = 10),
• \( B \) — множество людей, знающих немецкий язык (|B| = 7),
• \( C \) — множество людей, знающих французский язык (|C| = 6).

Нам также известны пересечения этих множеств:

• \( |A \cap B| = 5 \) (знают английский и немецкий),
• \( |A \cap C| = 4 \) (знают английский и французский),
• \( |B \cap C| = 3 \) (знают немецкий и французский).

Обозначим количество людей, которые знают все три языка, как \( x \).

Сначала найдем количество людей, знающих хотя бы один язык с помощью формулы включения-исключения:

\[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \]

Подставим известные значения:

\[ 13 = 10 + 7 + 6 - 5 - 4 - 3 + x \]

Посчитаем:

\[ 13 = 23 - 12 + x \] \[ 13 = 11 + x \] \[ x = 13 - 11 = 2 \]

Теперь мы знаем, что 2 человека знают все три языка. Найдем количество людей, знающих ровно два языка:

Употребляя \( x = 2 \):

• количество людей, знающих только английский и немецкий: \[ |A \cap B| - |A \cap B \cap C| = 5 - 2 = 3 \]
• количество людей, знающих только английский и французский: \[ |A \cap C| - |A \cap B \cap C| = 4 - 2 = 2 \]
• количество людей, знающих только немецкий и французский: \[ |B \cap C| - |A \cap B \cap C| = 3 - 2 = 1 \]

Теперь суммируем количество людей, знающих ровно два языка:

\[ 3 + 2 + 1 = 6 \]

Таким образом, количество людей, знающих ровно два языка, составляет \( \boxed{6} \).