На одной из кафедр университета работают 13 человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Десять человек знают английский, семеро  — немецкий, шестеро  — французский, пятеро знают английский и немецкий, четверо  — английский и французский, трое  — немецкий и французский языки. Выясните, сколько человек знают ровно два языка.

Для решения задачи воспользуемся принципом включения-исключения. Обозначим: - \( A \) — множество людей, знающих английский язык (|A| = 10), - \( B \) — множество людей, знающих немецкий язык (|B| = 7), - \( C \) — множество людей, знающих французский язык (|C| = 6). Нам также известны пересечения этих множеств: - \( |A \cap B| = 5 \) (знают английский и немецкий), - \( |A \cap C| = 4 \) (знают английский и французский), - \( |B \cap C| = 3 \) (знают немецкий и французский). Обозначим количество людей, которые знают все три языка, как \( x \). Сначала найдем количество людей, знающих хотя бы один язык с помощью формулы включения-исключения: \[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \] Подставим известные значения: \[ 13 = 10 + 7 + 6 - 5 - 4 - 3 + x \] Посчитаем: \[ 13 = 23 - 12 + x \] \[ 13 = 11 + x \] \[ x = 13 - 11 = 2 \] Теперь мы знаем, что 2 человека знают все три языка. Найдем количество людей, знающих ровно два языка: Употребляя \( x = 2 \): - количество людей, знающих только английский и немецкий: \[ |A \cap B| - |A \cap B \cap C| = 5 - 2 = 3 \] - количество людей, знающих только английский и французский: \[ |A \cap C| - |A \cap B \cap C| = 4 - 2 = 2 \] - количество людей, знающих только немецкий и французский: \[ |B \cap C| - |A \cap B \cap C| = 3 - 2 = 1 \] Теперь суммируем количество людей, знающих ровно два языка: \[ 3 + 2 + 1 = 6 \] Таким образом, количество людей, знающих ровно два языка, составляет \( \boxed{6} \).