Монету бросают 8 раз. выпадение орла и решки равновозможно. найдите вероятность того, что орел выпадет не более 3 раз

Для решения задачи о вероятности выпадения орла при броске монеты восемь раз, можем использовать биномиальное распределение. Давайте разберем решение по шагам.

Шаг 1: Определение параметров задачи

• Количество бросков (n): 8
• Количество успешных исходов (k): 0, 1, 2, или 3 (так как нужно найти вероятность того, что орел выпадет не более 3 раз)
• Вероятность успеха (p): 0.5 (вероятность выпадения орла при каждом броске)

Шаг 2: Формула биномиального распределения

Вероятность получения k успехов (в нашем случае - орлов) из n попыток (бросков) дана формулой:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
• \( p \) — вероятность успеха (выпадение орла), в нашем случае 0.5.
• \( (1 - p) \) — вероятность неуспеха (выпадение решки), также 0.5.

Шаг 3: Расчет вероятностей для k = 0, 1, 2, 3

Теперь посчитаем вероятность для каждого значения k:

1. Для k = 0: \[ P(X = 0) = C(8, 0) \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^{8} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{256} = \frac{1}{256} \]

2. Для k = 1: \[ P(X = 1) = C(8, 1) \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^{7} = 8 \cdot 0.5 \cdot \frac{1}{128} = \frac{8}{256} = \frac{1}{32} \]

3. Для k = 2: \[ P(X = 2) = C(8, 2) \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{6} = 28 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{64} = \frac{28}{256} = \frac{7}{64} \]

4. Для k = 3: \[ P(X = 3) = C(8, 3) \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{5} = 56 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{32} = \frac{56}{256} = \frac{7}{32} \]

Шаг 4: Сумма вероятностей

Теперь сложим найденные вероятности для \( k = 0, 1, 2, 3 \):

\[ P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \]

Подставляем значения:

\[ P(X \leq 3) = \frac{1}{256} + \frac{1}{32} + \frac{7}{64} + \frac{7}{32} \]

Приведем все к общему знаменателю (256):

\[ P(X \leq 3) = \frac{1}{256} + \frac{8}{256} + \frac{28}{256} + \frac{56}{256} = \frac{1 + 8 + 28 + 56}{256} = \frac{93}{256} \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что орел выпадет не более 3 раз при 8 бросках монеты, составляет:

\[ P(X \leq 3) = \frac{93}{256} \approx 0.36328125 \]

Заключение

Вероятность того, что орел выпадет не более 3 раз при 8 бросках монеты, составляет примерно 0.363 или 36.3%.