Монету бросают 8 раз. выпадение орла и решки равновозможно. найдите вероятность того, что орел выпадет не более 3 раз

Для решения задачи о вероятности выпадения орла при броске монеты восемь раз, можем использовать биномиальное распределение. Давайте разберем решение по шагам. ### Шаг 1: Определение параметров задачи - **Количество бросков (n)**: 8 - **Количество успешных исходов (k)**: 0, 1, 2, или 3 (так как нужно найти вероятность того, что орел выпадет не более 3 раз) - **Вероятность успеха (p)**: 0.5 (вероятность выпадения орла при каждом броске) ### Шаг 2: Формула биномиального распределения Вероятность получения k успехов (в нашем случае - орлов) из n попыток (бросков) дана формулой: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \] где: - \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] - \( p \) — вероятность успеха (выпадение орла), в нашем случае 0.5. - \( (1 - p) \) — вероятность неуспеха (выпадение решки), также 0.5. ### Шаг 3: Расчет вероятностей для k = 0, 1, 2, 3 Теперь посчитаем вероятность для каждого значения k: 1. **Для k = 0:** \[ P(X = 0) = C(8, 0) \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^{8} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{256} = \frac{1}{256} \] 2. **Для k = 1:** \[ P(X = 1) = C(8, 1) \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^{7} = 8 \cdot 0.5 \cdot \frac{1}{128} = \frac{8}{256} = \frac{1}{32} \] 3. **Для k = 2:** \[ P(X = 2) = C(8, 2) \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{6} = 28 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{64} = \frac{28}{256} = \frac{7}{64} \] 4. **Для k = 3:** \[ P(X = 3) = C(8, 3) \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{5} = 56 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{32} = \frac{56}{256} = \frac{7}{32} \] ### Шаг 4: Сумма вероятностей Теперь сложим найденные вероятности для \( k = 0, 1, 2, 3 \): \[ P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \] Подставляем значения: \[ P(X \leq 3) = \frac{1}{256} + \frac{1}{32} + \frac{7}{64} + \frac{7}{32} \] Приведем все к общему знаменателю (256): \[ P(X \leq 3) = \frac{1}{256} + \frac{8}{256} + \frac{28}{256} + \frac{56}{256} = \frac{1 + 8 + 28 + 56}{256} = \frac{93}{256} \] ### Ответ Таким образом, вероятность того, что орел выпадет не более 3 раз при 8 бросках монеты, составляет: \[ P(X \leq 3) = \frac{93}{256} \approx 0.36328125 \] ### Заключение Вероятность того, что орел выпадет не более 3 раз при 8 бросках монеты, составляет примерно 0.363 или 36.3%.