в группе 20 юношей и 10 девушек. сколькими способами можно избрать трёх юношей и двух девушек для участия в слете студентов?
Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться комбинаторикой, в частности, формулой сочетаний.
Сначала определим параметры задачи:
- Юноши: 20
- Девушки: 10
Нам нужно выбрать:
- 3 юношей
- 2 девушки
Формула для вычисления сочетаний выглядит так:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
где \(C(n, k)\) — это количество способов выбрать \(k\) объектов из \(n\) возможных, а \(n!\) (факториал \(n\)) — это произведение всех целых чисел от 1 до \(n\).
Теперь посчитаем количество способов выбора юношей:
- Выбор 3 юношей из 20:
\[ C(20, 3) = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3! \cdot 17!} \]
Поскольку \(20! = 20 \times 19 \times 18 \times 17!\), мы можем упростить:
\[ C(20, 3) = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = \frac{6840}{6} = 1140 \]
- Выбор 2 девушек из 10:
\[ C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} \]
Аналогично упрощаем:
\[ C(10, 2) = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = \frac{90}{2} = 45 \]
Теперь, чтобы найти общее количество способов выбрать трёх юношей и двух девушек, нам нужно перемножить количество способов для обеих групп:
\[ Общее количество способов = C(20, 3) \times C(10, 2) = 1140 \times 45 \]
Выполним умножение:
\[ 1140 \times 45 = 51300 \]
Ответ: Таким образом, трёх юношей и двух девушек можно избрать 51300 способами.
