Реши векторы,прописными буквами

Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку. **1. Найдите скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), если:** \[ |\mathbf{a}| = 2, \, |\mathbf{b}| = 3, \, \text{угол между векторами} \, 60^\circ \] Формула для скалярного произведения: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \times |\mathbf{b}| \times \cos{\theta} \] Подставим известные значения: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \times 3 \times \cos{60^\circ} \] Поскольку \(\cos{60^\circ} = 0.5\), имеем: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \times 3 \times 0.5 = 3 \] **Ответ:** 3 --- **2. Вычислите косинус угла между векторами \( \mathbf{a} = \{6; \, 8\} \) и \( \mathbf{b} = \{-8; \, 6\} \).** Формула для косинуса угла между векторами: \[ \cos{\theta} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \times |\mathbf{b}|} \] Сначала найдем скалярное произведение: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 6 \times (-8) + 8 \times 6 = -48 + 48 = 0 \] Так как скалярное произведение равно 0, векторы перпендикулярны, и \(\cos{\theta} = 0\). **Ответ:** 0 --- **3. Найдите значение \( x \), при котором векторы \( \mathbf{a} = \{2; \, x\} \) и \( \mathbf{b} = \{\varphi; \, x\} \) перпендикулярны, если \( \mathbf{a} = \{2; \, x\} \), \( \mathbf{b} = \{b; \, 5x\} \).** Чтобы векторы были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно 0: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2b + x \times 5x = 0 \] \[ 2b + 5x^2 = 0 \] Решая уравнение относительно \( b \), получаем: \[ 5x^2 = -2b \] Так как нет зависимости от \( b \) в самом вопросе, можно выразить \( x \) как константу, зависящую от \( b \), при этом учитывая, что \( b = -\frac{5}{2}x^2 \) определяет все значения \( x \) при каком-то фиксированном \( b \). **Ответ:** зависти от условия \(-2b = 5x^2\) с конкретным \( b \).