Сколько пар целых чисел удовлетворяют системе неравенств { y < − x 2 , y ≥ − 4 ? ​

Чтобы решить систему неравенств

\[ \begin{cases} y < -x^2 \\ y \geq -4 \end{cases} \]

начнем с анализа каждого неравенства по отдельности.

Шаг 1: Графическое представление

1. График первого неравенства \( y < -x^2 \):

   • Это квадратичная функция, которая открыта вниз.
   • График будет являться параболой с вершиной в точке (0, 0), и он будет находиться ниже этой параболы.

2. График второго неравенства \( y \geq -4 \):

   • Это прямая, параллельная оси \(x\), на уровне \(y = -4\).
   • Мы берем эту линию, включая её, так как неравенство подразумевает, что \(y\) может быть равно -4.

Шаг 2: Определение области решения

Теперь нам нужно найти область, где оба условия выполняются одновременно:

• Область, удовлетворяющая \( y < -x^2 \), будет находиться под параболой.
• Область, удовлетворяющая \( y \geq -4 \), будет находиться над линией \(y = -4\).

Шаг 3: Найдем точки пересечения

Чтобы найти границы области, сначала найдем точки, где два условия пересекаются:

1. Установим \( -x^2 = -4 \): \[ -x^2 = -4 \\ x^2 = 4 \\ x = \pm 2 \]

Таким образом, точки пересечения: \((-2, -4)\) и \((2, -4)\).

Шаг 4: Анализ области решения

Теперь графически:

• Парабола \(y = -x^2\) открыта вниз, а линия \(y = -4\) проходит через точки \((-2, -4)\) и \((2, -4)\).
• Мы ищем область под параболой и над линией, что означает, что \(y\) должно быть между -4 и значением параболы для данного \(x\).

Шаг 5: Определение целых чисел

Теперь найдем все целые значения \(y\), которые удовлетворяют условию \( -4 \leq y < -x^2 \).

• Для \(x = -2\) и \(x = 2\): \[ y < -(-2)^2 \rightarrow y < -4 \quad \text{и} \quad y \geq -4 \quad \Rightarrow \text{нет решений.} \]

• Для \(x = -1\) и \(x = 1\): \[ y < -(-1)^2 \rightarrow y < -1 \quad \text{и} \quad y \geq -4. \] Это дает возможные значения \(y = -4, -3, -2\) (всего 3 целых решения).

• Для \(x = 0\): \[ y < -0^2 \rightarrow y < 0 \quad \text{и} \quad y \geq -4. \] Это дает возможные значения \(y = -4, -3, -2, -1\) (всего 4 целых решения).

• Для \(x = -1\) и \(x = 1\) уже рассмотрены, задачи для \(x = -2\) и \(x = 2\) тоже.

• Для \(x = -3\) и \(x = 3\): \[ y < -(-3)^2 \rightarrow y < -9 \quad \text{и} \quad y \geq -4 \quad \Rightarrow \text{нет решений.} \]

Теперь нужно суммировать количество целых решений:

• Для \(x = -1, 1\): 3 (для \(y = -4, -3, -2\))
• Для \(x = 0\): 4 (для \(y = -4, -3, -2, -1\))

Таким образом, общее количество пар целых чисел \( (x, y) \):

• \(x = -1\) (3 варианта), \( x = 0\) (4 варианта), \( x = 1\) (3 варианта).

Все допустимые \(x\) составляют: \(-1, 0, 1\), что даст 10 различных пар (с учетом положительного и отрицательного \(x\)). Но, по пересечению, учитываем только верхнюю грань.

Ответ

Итак, всего пар целых чисел \((x, y)\), удовлетворяющих системе, будет 7.