Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Подмастерье тратит на выполнение заказа на 10 часов больше, чем мастер.
- Вместе они могут выполнить заказ за 12 часов.
Обозначения:
- Пусть ( t ) — время, которое тратит мастер на выполнение заказа.
- Значит, подмастерье тратит ( t + 10 ) часов.
Расчёт работы:
Работа, выполненная мастером за 1 час, равна ( \frac{1}{t} ).
Работа, выполненная подмастерьем за 1 час, равна ( \frac{1}{t + 10} ).
Когда они работают вместе, их общая работа за час складывается:
[
\frac{1}{t} + \frac{1}{t + 10} = \frac{1}{12}
]
Упрощение уравнения:
Теперь найдем общий знаменатель для левой части уравнения:
[
\frac{(t + 10) + t}{t(t + 10)} = \frac{1}{12}
]
[
\frac{2t + 10}{t(t + 10)} = \frac{1}{12}
]
Теперь перемножим обе стороны на ( 12t(t + 10) ):
[
12(2t + 10) = t(t + 10)
]
[
24t + 120 = t^2 + 10t
]
Приведение уравнения к стандартному виду:
Переносим все термы в одну сторону:
[
t^2 + 10t - 24t - 120 = 0
]
[
t^2 - 14t - 120 = 0
]
Решение квадратного уравнения:
Используем формулу для решения квадратного уравнения:
[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Где ( a = 1 ), ( b = -14 ), ( c = -120 ):
[
t = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120)}}{2 \cdot 1}
]
[
t = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 480}}{2}
]
[
t = \frac{14 \pm \sqrt{676}}{2}
]
[
t = \frac{14 \pm 26}{2}
]
Теперь решим два случая:
- ( t = \frac{40}{2} = 20 )
- ( t = \frac{-12}{2} = -6 ) (это значение не имеет смысла в данном контексте)
Вывод:
Таким образом, мастер тратит 20 часов на выполнение заказа.
Для подмастерья:
[
t + 10 = 20 + 10 = 30 \text{ часов}
]
Ответ:
- Мастер выполняет заказ за 20 часов.
- Подмастерье выполняет заказ за 30 часов.
