. Скорость движения изменяется по закону v(t) = 2t ^ M / c . Найти путь, пройденный телом за третью секунду движения.
Давайте решим задачу о движении тела с заданной зависимостью скорости от времени.
Дано:
Скорость:
\[ v(t) = \frac{2t^M}{c} \]
Цель:
Найти путь, пройденный телом за третью секунду движения.
Решение:
Найдем путь, пройденный телом за время t.
Чтобы найти путь, нам нужно вычислить интеграл от скорости по времени, поскольку путь равен интегралу скорости:
\[ s(t) = \int v(t) \, dt = \int \frac{2t^M}{c} \, dt \]
Интеграл можно вычислить следующим образом:
\[ s(t) = \frac{2}{c} \int t^M \, dt = \frac{2}{c} \cdot \frac{t^{M+1}}{M+1} + C \]
Здесь \( C \) — это постоянная интегрирования, которую мы не учтем, так как нас интересует изменение пути.
Найдем путь, пройденный за каждую из секунд.
Путь, пройденный за время от 0 до t, уже выражен через интеграл. Теперь найдем путь, пройденный за первые 3 секунды:
\[ s(3) = \frac{2}{c} \cdot \frac{3^{M+1}}{M+1} \]
И путь, пройденный за первые 2 секунды:
\[ s(2) = \frac{2}{c} \cdot \frac{2^{M+1}}{M+1} \]
Теперь находим путь, пройденный за третью секунду.
Путь, пройденный в третьей секунде, можно найти как разницу пути, пройденного за 3 секунды и путем, пройденным за 2 секунды:
\[ s_{\text{за 3 сек}} = s(3) - s(2) \]
Подставляем выражения для \( s(3) \) и \( s(2) \):
\[ s_{\text{за 3 сек}} = \left( \frac{2}{c} \cdot \frac{3^{M+1}}{M+1} \right) - \left( \frac{2}{c} \cdot \frac{2^{M+1}}{M+1} \right) \]
Упрощаем:
\[ s_{\text{за 3 сек}} = \frac{2}{c(M+1)} \left( 3^{M+1} - 2^{M+1} \right) \]
Ответ:
Путь, пройденный телом за третью секунду, выражается формулой:
\[ s_{\text{за 3 сек}} = \frac{2}{c(M+1)} \left( 3^{M+1} - 2^{M+1} \right) \]
На этом решение завершено! Если у вас остались вопросы или вам нужно что-то уточнить, дайте знать!
