Минимальное значение х2+у2, если х2-у2+6х+4у+5=0, равно...
Чтобы найти минимальное значение выражения \( x^2 + y^2 \) при условии, что \( x^2 - y^2 + 6x + 4y + 5 = 0 \), мы можем воспользоваться методом подстановки и минимизации функции.
Перепишем уравнение: У нас есть уравнение: \[ x^2 - y^2 + 6x + 4y + 5 = 0. \] Это уравнение можно переписать в более удобной форме. Для этого сгруппируем его. Одна из популярных техник — это выделение полного квадрата для \( x \) и \( y \).
Начнем с \( x^2 + 6x \): \[ x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9. \] Теперь подставим это в уравнение: \[ (x + 3)^2 - 9 - y^2 + 4y + 5 = 0. \] Упрощая: \[ (x + 3)^2 - y^2 + 4y - 4 = 0. \]
Теперь выделим квадрат для \( y \): Для \( -y^2 + 4y \): \[ -y^2 + 4y = -((y - 2)^2 - 4) = - (y - 2)^2 + 4. \] Подставим это обратно: \[ (x + 3)^2 - (y - 2)^2 + 4 - 4 = 0, \] то есть: \[ (x + 3)^2 - (y - 2)^2 = 0. \] Это уравнение имеет вид разности квадратов и может быть решено следующим образом: \[ (x + 3 - (y - 2))(x + 3 + (y - 2)) = 0. \]
Решим уравнения: Отсюда у нас есть два случая:
- \( x + 3 - (y - 2) = 0 \) или \( x + 3 + (y - 2) = 0 \).
Рассмотрим первый случай: \[ x + 3 = y - 2 \implies y = x + 5. \]
Подставим это значение \( y \) во второе выражение \( x^2 + y^2 \): \[ y^2 = (x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25. \] Таким образом, мы имеем: \[ x^2 + y^2 = x^2 + (x^2 + 10x + 25) = 2x^2 + 10x + 25. \]
Найдем минимальное значение: Чтобы найти минимум функции \( f(x) = 2x^2 + 10x + 25 \), используем формулу для нахождения координаты вершины параболы, которая имеет вид \( x = -\frac{b}{2a} \): \[ x = -\frac{10}{2 \cdot 2} = -\frac{10}{4} = -2.5. \] Подставим \( x = -2.5 \) обратно в функцию: \[ f(-2.5) = 2(-2.5)^2 + 10(-2.5) + 25 = 2(6.25) - 25 + 25 = 12.5. \]
Таким образом, минимальное значение \( x^2 + y^2 \) при заданных условиях равно: \[ \boxed{12.5}. \]
