Рассмотрим два квадратных уравнения:
- ( x^2 + (p - 1)x - (p + 2) = 0 )
- ( x^2 + (p + 2)x + 2p - 1 = 0 )
Эти уравнения имеют общий корень. Мы будем обозначать общий корень как ( x_0 ).
Шаг 1: Подставим общий корень в оба уравнения
Если ( x_0 ) — общий корень, то он должен удовлетворять обоим уравнениям. Мы можем выразить ( p ) через ( x_0 ) из обоих уравнений.
Из первого уравнения:
Подставим ( x_0 ):
[
x_0^2 + (p - 1)x_0 - (p + 2) = 0
]
Приравняем это к нулю:
[
x_0^2 + (p - 1)x_0 = p + 2
]
Из второго уравнения:
Подставим ( x_0 ):
[
x_0^2 + (p + 2)x_0 + 2p - 1 = 0
]
Приравняем это к нулю:
[
x_0^2 + (p + 2)x_0 = 1 - 2p
]
Шаг 2: Приравняем правые части
Теперь у нас есть две равенства для ( x_0^2 + (p - 1)x_0 ) и ( x_0^2 + (p + 2)x_0 ). Мы можем приравнять правые части:
[
p + 2 = 1 - 2p
]
Шаг 3: Решим уравнение для ( p )
Переносим все члены с ( p ) в одну сторону:
[
p + 2 + 2p = 1
]
Объединим ( p ):
[
3p + 2 = 1
]
Теперь решим для ( p ):
[
3p = 1 - 2
]
[
3p = -1
]
[
p = -\frac{1}{3}
]
Шаг 4: Найдем значение ( 6p )
Теперь мы вычислим ( 6 \cdot p ):
[
6p = 6 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -2
]
Ответ
Таким образом, значение ( 6p ) равно -2.
