DABC-правильный тетраэдр, M, N, K- середины ребер AB, BC и CD соответственно. Длина вектора DM = sqrt3. Найти длину вектора MN

Для решения задачи найдем координаты точек вершин тетраэдра DABC и их середины. Обозначим:

• \( A(1, 1, 1) \)
• \( B(1, -1, -1) \)
• \( C(-1, 1, -1) \)
• \( D(-1, -1, 1) \)

Теперь определим середины ребер:

1. \( M \) - середина ребра \( AB \): \[ M = \left( \frac{1 + 1}{2}, \frac{1 + (-1)}{2}, \frac{1 + (-1)}{2} \right) = (1, 0, 0) \]

2. \( N \) - середина ребра \( BC \): \[ N = \left( \frac{1 + (-1)}{2}, \frac{-1 + 1}{2}, \frac{-1 + (-1)}{2} \right) = (0, 0, -1) \]

3. \( K \) - середина ребра \( CD \): \[ K = \left( \frac{-1 + (-1)}{2}, \frac{1 + (-1)}{2}, \frac{-1 + 1}{2} \right) = (-1, 0, 0) \]

Теперь найдем вектор \( MN \). Вектор \( \overrightarrow{MN} \) вычисляется как: \[ \overrightarrow{MN} = N - M = (0, 0, -1) - (1, 0, 0) = (-1, 0, -1) \]

Теперь найдем длину вектора \( \overrightarrow{MN} \): \[ |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \]

Таким образом, длина вектора \( MN \) равна \( \sqrt{2} \).