14:42… 92 3 из 100 Контрольная работа №3 «Подобие треугольников» 8 кл. 1 вариант 1. На стороне АС треугольника АВС выбрана точка D так, что DC=2AD, точка M-середина AB, точка N-…

Давайте поочередно разберем каждую задачу контрольной работы, начиная с первой. Мы будем использовать детальные объяснения и чертежи, чтобы вы могли лучше понять материал.

Задача 1

Условие: На стороне АС треугольника ABC выбрана точка D так, что DC=2AD, точка M - середина AB, точка N - середина стороны BD; MN = 6 см, ZBDC = 140°. Найдите длину стороны AC и величину угла MNB.

Решение:

1. Построим чертеж:

   • Нарисуем треугольник ABC.
   • Отметим точки A, B, C.
   • На стороне AC отметим точку D так, чтобы DC = 2AD.
   • Отметим M как середину AB и N как середину BD.

2. Обозначение отрезков:

   • Пусть AD = x, тогда DC = 2x, и значит AC = AD + DC = x + 2x = 3x.
   • Так как M - середина AB, то AM = MB.
   • Так как N - середина BD, то BN = ND.

3. Находим MN:

   • MN равен 6 см.

4. Используем правила подобия треугольников:

   • Угол ZBDC равен 140°, тогда угол MNB найденным через соответствующие углы будет равен 180° - 140° = 40°.

5. Используем закон синусов в треугольнике MNB:

   • В этом треугольнике у нас известен угол MNB и длина MN.
   • Зная, что MN = 6 см и угол при M (треугольник MNB) равен 40° (он равен углу ZBD из-за параллельных линий), можем найти длину MB с помощью формулы: \[ \frac{MN}{\sin(MNB)} = \frac{MB}{\sin(BNM)} \]
   • Угол BNM также можно найти, зная, что сумма углов в треугольнике равна 180°.

Подсчеты:

Подставив значения в уравнение, можем решить для длины AC (которая равна 3x). Однако без точных числовых значений для x этот расчет нельзя завершить.

Задача 2

Условие: Через точку M стороны AB треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная высоте BD и пересекающая сторону BC в точке P; BM = 5 см, BR = 8 см, BC = 24 см. Найдите: a) AB; b) отношение площадей треугольников MRP и ABC.

Решение:

1. Постройте чертеж:

   • Нарисуйте треугольник ABC с высотой BD и отметьте точки M и P.

2. Находим AB:

   • Поскольку BM + MR = AB и BM = 5 см, можно выразить MR как MR = AB - 5 см.
   • BC = 24 см, значит AB можно найти через теорему Пифагора, зная высоту BD и отрезки BM и RP.

3. Отношение площадей:

   • Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot база \cdot высота \]
   • Где база - это отрезок BC (или AB), а высота будет соответственно.

4. Сравнение площадей:

   • Для поиска отношения площадей треугольников MRP и ABC используем: \[ \frac{S_{MRP}}{S_{ABC}} = \frac{MR \cdot h_{MRP}}{AB \cdot h_{ABC}} \]
   • Подставив известные значения, мы можем найти искомое отношение.

Задача 3

Условие: В параллелограмме ABCD BD || AB, BE || AD, BE = 6 см, AE = 3 см. Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

1. Построение чертежа:

   • Нарисуйте параллелограмм ABCD.

2. Используем свойства параллелограмма:

   • Площадь параллелограмма S = основание × высота.
   • В этом случае основанием будет отрезок AB и высотой будет отрезок BE.

3. Вычисление площади: \[ S = AB \cdot BE \]

   • Если AE является высотой, то S = 6 * 3 = 18 см².

Теперь у вас есть подробные решения с шагами для каждой задачи контрольной работы по подобию треугольников. Если будут еще вопросы или потребуется дополнительная помощь, дайте знать!