Во время одной из интеллектуальных игр Незнайка и Пончик придумывали функции, а потом их исследовали. В частности, Пончик попросил Незнайку подсчитать, сколько целых значений…

Чтобы определить, сколько целых значений может принимать функция \( f(x) = 2\cos{2x} + 2\cos{x} - 2025 \), давайте сначала разберёмся с составляющими этой функции.

Шаг 1: Понять функции \(\cos{2x}\) и \(\cos{x}\)

1. Функция \(\cos{x}\):

   • Значение косинуса колеблется от -1 до +1 для всех \( x \).
   • Поэтому \( 2\cos{x} \) будет колебаться от -2 до +2.

2. Функция \(\cos{2x}\):

   • Подобно \(\cos{x}\), \(\cos{2x}\) также колеблется от -1 до +1.
   • Таким образом, \( 2\cos{2x} \) также будет колебаться от -2 до +2.

Шаг 2: Найти диапазон значений \( f(x) \)

Теперь объединяем эти две составляющие в \( f(x) \):

\[ f(x) = 2\cos{2x} + 2\cos{x} - 2025 \]

• Минимальное значение \( f(x) \):
  • \( 2\cos{2x} \) достигает минимум при \(-2\).
  • \( 2\cos{x} \) также достигает минимум при \(-2\).

Таким образом, минимальное значение функции:

\[ f_{\text{min}} = -2 - 2 - 2025 = -2029 \]

• Максимальное значение \( f(x) \):
  • Максимум \( 2\cos{2x} \) равен \( 2 \).
  • Максимум \( 2\cos{x} \) также равен \( 2 \).

Максимальное значение функции:

\[ f_{\text{max}} = 2 + 2 - 2025 = -2021 \]

Шаг 3: Определить целые значения функции

Теперь определим диапазон, в котором может принимать \( f(x) \):

\[ -2029 \leq f(x) \leq -2021 \]

Целые значения в диапазоне

Чтобы узнать, сколько целых значений есть в этом диапазоне, нужно найти целые числа от \(-2029\) до \(-2021\):

• Целые значения: \(-2029, -2028, -2027, -2026, -2025, -2024, -2023, -2022, -2021\).
• Итого: от \(-2029\) до \(-2021\) включительно — это 9 значений.

Ответ

Таким образом, функция \( f(x) = 2\cos{2x} + 2\cos{x} - 2025 \) может принимать 9 целых значений в диапазоне от \(-2029\) до \(-2021\).