Во время одной из интеллектуальных игр Незнайка и Пончик придумывали функции, а потом их исследовали. В частности, Пончик попросил Незнайку подсчитать, сколько целых значений может принимать функция f(x) = 2cos2x + 2cosx - 2025. В результате у Незнайки получилось ня). = целое(-ых) значение(-ий,

Чтобы определить, сколько целых значений может принимать функция \( f(x) = 2\cos{2x} + 2\cos{x} - 2025 \), давайте сначала разберёмся с составляющими этой функции. ### Шаг 1: Понять функции \(\cos{2x}\) и \(\cos{x}\) 1. **Функция \(\cos{x}\)**: - Значение косинуса колеблется от -1 до +1 для всех \( x \). - Поэтому \( 2\cos{x} \) будет колебаться от -2 до +2. 2. **Функция \(\cos{2x}\)**: - Подобно \(\cos{x}\), \(\cos{2x}\) также колеблется от -1 до +1. - Таким образом, \( 2\cos{2x} \) также будет колебаться от -2 до +2. ### Шаг 2: Найти диапазон значений \( f(x) \) Теперь объединяем эти две составляющие в \( f(x) \): \[ f(x) = 2\cos{2x} + 2\cos{x} - 2025 \] - Минимальное значение \( f(x) \): - \( 2\cos{2x} \) достигает минимум при \(-2\). - \( 2\cos{x} \) также достигает минимум при \(-2\). Таким образом, минимальное значение функции: \[ f_{\text{min}} = -2 - 2 - 2025 = -2029 \] - Максимальное значение \( f(x) \): - Максимум \( 2\cos{2x} \) равен \( 2 \). - Максимум \( 2\cos{x} \) также равен \( 2 \). Максимальное значение функции: \[ f_{\text{max}} = 2 + 2 - 2025 = -2021 \] ### Шаг 3: Определить целые значения функции Теперь определим диапазон, в котором может принимать \( f(x) \): \[ -2029 \leq f(x) \leq -2021 \] ### Целые значения в диапазоне Чтобы узнать, сколько целых значений есть в этом диапазоне, нужно найти целые числа от \(-2029\) до \(-2021\): - Целые значения: \(-2029, -2028, -2027, -2026, -2025, -2024, -2023, -2022, -2021\). - Итого: от \(-2029\) до \(-2021\) включительно — это 9 значений. ### Ответ Таким образом, функция \( f(x) = 2\cos{2x} + 2\cos{x} - 2025 \) может принимать **9** целых значений в диапазоне от \(-2029\) до \(-2021\).