В начале года к вам пришел ваш поставщик и сказал, что не сможет поставить материалов на 500 000 рублей как вы договаривались раньше, однако вернуть эту сумму поставщик не может -…
В начале года к вам пришел ваш поставщик и сказал, что не сможет поставить материалов на 500 000 рублей как вы договаривались раньше, однако вернуть эту сумму поставщик не может - нет денег. Но у него есть 100 облигаций, которые исполняются (“заканчиваются/гасятся”) через 5 лет. То есть, в течение следующих 5 лет по каждой облигации в конце года платится 1000, а в конце 5 года дополнительно к 1000 еще и номинал облигации Х рублей. Найдите величину Х при которой вы согласитесь принять эти облигации сейчас вместо 500 000 деньгами, если ставка по депозиту 10% и следующие 5 лет не будет меняться. Предполагается капитализация процентов. Ответ округлите ДО ДВУХ знаков после запятой.
Чтобы решить эту задачу, необходимо использовать концепцию дисконтирования денежных потоков и формулу будущей стоимости с учетом сложного процента.
Дано:
- Сумма, которую нужно получить: 500,000 рублей.
- Ставка по депозиту: 10% (или 0.10 в десятичной форме).
- Облигаций: 100 штук.
- Платеж по облигации в конце каждого года: 1,000 рублей (в общей сложности за 5 лет: 5,000 рублей).
- Дополнительный платеж в конце 5-го года: номинал облигации (X рублей).
Наша задача:
Найти величину X, при которой приведённая стоимость всех денежных потоков облигаций будет равна 500,000 рублей.
Шаги решения:
Составим формулу для оценки будущих потоков:
Приведенная стоимость (PV) будущих денежных потоков рассчитывается по формуле:
\[ PV = \frac{C}{(1 + r)^t} \]
где:
- \( C \) — денежный поток,
- \( r \) — ставка дисконтирования (в данном случае 10% = 0.10),
- \( t \) — количество периодов (лет).
Сделаем расчеты для годовых платежей по облигациям.
Каждый год в течение 5 лет мы получаем 1,000 рублей. Следовательно, приведенная стоимость этих платежей будет:
\[ PV_{платежи} = 1000 \cdot \left( \frac{1}{(1 + 0.10)^1} + \frac{1}{(1 + 0.10)^2} + \frac{1}{(1 + 0.10)^3} + \frac{1}{(1 + 0.10)^4} + \frac{1}{(1 + 0.10)^5} \right) \]
Посчитаем каждый из этих компонентов:
\[ PV_{первый} = \frac{1000}{1.1^1} = \frac{1000}{1.1} \approx 909.09 \] \[ PV_{второй} = \frac{1000}{1.1^2} = \frac{1000}{1.21} \approx 826.45 \] \[ PV_{третий} = \frac{1000}{1.1^3} = \frac{1000}{1.331} \approx 751.31 \] \[ PV_{четвертый} = \frac{1000}{1.1^4} = \frac{1000}{1.4641} \approx 683.01 \] \[ PV_{пятый} = \frac{1000}{1.1^5} = \frac{1000}{1.61051} \approx 620.92 \]
Теперь сложим все эти приведенные стоимости:
\[ PV_{платежи} \approx 909.09 + 826.45 + 751.31 + 683.01 + 620.92 \approx 3790.78 \]
Добавим приведённую стоимость номинала X:
В конце пятого года мы получаем X рублей, которая тоже должна быть приведена к текущему времени:
\[ PV_{номинал} = \frac{X}{(1 + 0.10)^5} = \frac{X}{1.61051} \]
Общая приведенная стоимость облигаций:
Объединим все части:
\[ PV_{облигации} = PV_{платежи} + PV_{номинал} = 3790.78 + \frac{X}{1.61051} \]
Решим уравнение:
Нам нужно, чтобы:
\[ PV_{облигации} = 500000 \]
Подставляем:
\[ 3790.78 + \frac{X}{1.61051} = 500000 \]
Выразим X:
\[ \frac{X}{1.61051} = 500000 - 3790.78 \]
\[ \frac{X}{1.61051} = 496209.22 \]
Умножим обе стороны на 1.61051:
\[ X = 496209.22 \cdot 1.61051 \approx 799,488.76 \]
Ответ:
Таким образом, величина X, при которой вы согласитесь принять облигации вместо 500,000 рублей, составляет approximately 799,488.76 рублей (при округлении до двух знаков после запятой).
