в начале года к вам пришел ваш поставщик и сказал, что не сможет поставить материалов на 1 000 000 рублей как вы договаривались в том году, однако вернуть эту сумму поставщик не…
В начале года к вам пришел ваш поставщик и сказал, что не сможет поставить материалов на 1 000 000 рублей как вы договаривались в том году, однако вернуть эту сумму поставщик не может - нет денег. Но у него есть 100 облигаций, которые исполняются ("заканчиваются") через 5 лет. То есть, в течение следующих 5 лет по каждой облигации в конце года платится 1000, а в конце пятого года дополнительно к 1000 еще и номинал облигации X рублей. Найдите величину X, при которой вы согласитесь принять эти облигации сейчас вместо 1 000 000 деньгами, если ставка по депозиту 10 % и следующие 5 лет не будет меняться. Предполагается капитализация процентов. При необходимости, округлите ответ ДО ДВУХ знаков после запятой.
Давайте разберемся с данной задачей, которая связана с финансовыми расчетами и оценкой будущих потоков денежных средств.
Мы знаем, что поставщик предлагает 100 облигаций, которые каждая приносят:
- 1000 рублей в конце каждого года на протяжении 5 лет (итого 5 лет).
- В конце пятого года еще и номинал облигации X рублей.
Таким образом, в конце пятого года, поставщик должен вам:
- 1000 рублей за первый год,
- 1000 рублей за второй год,
- 1000 рублей за третий год,
- 1000 рублей за четвертый год,
- 1000 рублей за пятый год,
- и X рублей (номинал облигации) в конце пятого года.
Итак, общая сумма, которую вы получите в конце пятого года, составит:
\[ 5 \times 1000 + X = 5000 + X \, (\text{рублей}) \]
Теперь мы должны рассмотреть приведенную стоимость этих платежей, чтобы понять, сколько эти облигации стоят сейчас. Мы используем формулу для вычисления приведенной стоимости, учитывая, что ставка по депозиту составляет 10%. Формула для приведенной стоимости платежа на конец n года выглядит так:
\[ PV = \frac{C}{(1 + r)^n} \]
где:
- \(PV\) — приведенная стоимость,
- \(C\) — денежный поток в конце n-го года,
- \(r\) — ставка (в нашем случае 0.10),
- \(n\) — номер года.
Мы будем находить приведенную стоимость всех поступлений:
- Первые 4 года, в конце каждого из которых выплачивается 1000 рублей:
\[ PV_1 = \frac{1000}{(1 + 0.10)^1} + \frac{1000}{(1 + 0.10)^2} + \frac{1000}{(1 + 0.10)^3} + \frac{1000}{(1 + 0.10)^4} \]
- В пятом году, где оплата составляет 1000 рублей + X:
\[ PV_5 = \frac{1000 + X}{(1 + 0.10)^5} \]
Теперь давайте рассчитаем каждую из этих частей:
Расчет PV для первых 4 лет:
\[ PV_1 = \frac{1000}{1.1^1} + \frac{1000}{1.1^2} + \frac{1000}{1.1^3} + \frac{1000}{1.1^4} \]
- Для 1-го года: \(PV_1 = \frac{1000}{1.1} \approx 909.09\)
- Для 2-го года: \(PV_2 = \frac{1000}{1.1^2} \approx 826.45\)
- Для 3-го года: \(PV_3 = \frac{1000}{1.1^3} \approx 751.31\)
- Для 4-го года: \(PV_4 = \frac{1000}{1.1^4} \approx 683.01\)
Сложим эти значения:
\[ PV_{1-4} \approx 909.09 + 826.45 + 751.31 + 683.01 \approx 3169.86 \]
Расчет PV для пятого года:
\[ PV_5 = \frac{1000 + X}{1.1^5} \]
Где \(1.1^5 \approx 1.61051\), поэтому:
\[ PV_5 = \frac{1000 + X}{1.61051} \]
Теперь полный расчет:
\[ PV_{total} \approx 3169.86 + \frac{1000 + X}{1.61051} \]
Чтобы согласиться принять облигации сегодня вместо 1 000 000 рублей, приведенная стоимость всех потоков должна равняться 1 000 000:
\[ 3169.86 + \frac{1000 + X}{1.61051} = 1000000 \]
Теперь решим это уравнение:
\[ \frac{1000 + X}{1.61051} = 1000000 - 3169.86 \]
\[ \frac{1000 + X}{1.61051} = 996830.14 \]
Умножим обе стороны на 1.61051:
\[ 1000 + X = 996830.14 \times 1.61051 \]
Приблизительно посчитаем правую часть:
\[ 1000 + X \approx 1600000.00 \]
Таким образом:
\[ X \approx 1600000 - 1000 \approx 1599000 \]
Округлив до двух знаков после запятой, мы получим:
\[ X \approx 1599000.00 \]
Итак, вы согласитесь принять облигации сейчас вместо 1 000 000 рублей, если номинал облигации X составит 1599000 рублей.
