В начале года к вам пришел ваш поставщик и сказал, что не сможет поставить материалов на 1 000 000 рублей как вы договаривались в том году, однако вернуть эту сумму поставщик не…
В начале года к вам пришел ваш поставщик и сказал, что не сможет поставить материалов на 1 000 000 рублей как вы договаривались в том году, однако вернуть эту сумму поставщик не может - нет денег. Но у него есть 100 облигаций, которые исполняются (“заканчиваются”) через 5 лет. То есть, в течение следующих 5 лет по каждой облигации в конце года платится 1000, а в конце 5 года дополнительно к 1000 еще и номинал облигации Х рублей. Найдите величину Х при которой вы согласитесь принять эти облигации сейчас вместо 1 000 000 деньгами, если ставка по депозиту 10% и следующие 5 лет не будет меняться. Предполагается капитализация процентов. При необходимости, округлите ответ ДО ДВУХ знаков после запятой.
Чтобы решить задачу, нам необходимо сопоставить стоимость облигаций с деньгами, которые были бы получены на депозит под 10% годовых. Для этого мы создадим план по шагам:
Шаг 1: Понимание условий
У нас есть 100 облигаций с годовой выплатой 1000 рублей в конце каждого года и дополнительной выплатой номинала облигации \( X \) рублей в конце пятого года.
Таким образом, к концу пятого года мы получим:
- В конце 1-го года: 1000 рублей
- В конце 2-го года: 1000 рублей
- В конце 3-го года: 1000 рублей
- В конце 4-го года: 1000 рублей
- В конце 5-го года: 1000 рублей + \( X \)
Шаг 2: Нахождение приведенной стоимости
Приведем все будущие денежные потоки к настоящему времени с учетом 10% годовых, используя формулу для приведенной стоимости:
\[ PV = \frac{C}{(1 + r)^n} \]
где:
- \( PV \) — приведенная стоимость,
- \( C \) — денежный поток в будущем,
- \( r \) — ставка (в данном случае 0.10),
- \( n \) — номер года, в который будет получен денежный поток.
Шаг 3: Расчет приведенной стоимости всех поступлений
Теперь вычислим приведенную стоимость каждого денежного потока:
В конце 1-го года: \[ PV_1 = \frac{1000 \times 100}{(1 + 0.10)^1} = \frac{100000}{1.10} \approx 90909.09 \]
В конце 2-го года: \[ PV_2 = \frac{1000 \times 100}{(1 + 0.10)^2} = \frac{100000}{1.21} \approx 82644.63 \]
В конце 3-го года: \[ PV_3 = \frac{1000 \times 100}{(1 + 0.10)^3} = \frac{100000}{1.331} \approx 75131.46 \]
В конце 4-го года: \[ PV_4 = \frac{1000 \times 100}{(1 + 0.10)^4} = \frac{100000}{1.4641} \approx 68301.26 \]
В конце 5-го года (включая номинал): \[ PV_5 = \frac{(1000 + X) \times 100}{(1 + 0.10)^5} = \frac{(1000 + X) \times 100}{1.61051} \] \[ PV_5 \approx \frac{(1000 + X) \times 100}{1.61051} \approx \frac{100000 + 100X}{1.61051} \approx 62092.81 + \frac{100X}{1.61051} \]
Шаг 4: Общая приведенная стоимость
Теперь суммируем все приведенные стоимости: \[ PV = PV_1 + PV_2 + PV_3 + PV_4 + PV_5 \] \[ PV \approx 90909.09 + 82644.63 + 75131.46 + 68301.26 + (62092.81 + \frac{100X}{1.61051}) \]
Шаг 5: Установка равенства
Мы хотим, чтобы стоимость облигаций была равна 1,000,000 рублей: \[ PV \approx 90909.09 + 82644.63 + 75131.46 + 68301.26 + 62092.81 + \frac{100X}{1.61051} = 1000000 \]
Считаем: \[ 326078.25 + \frac{100X}{1.61051} = 1000000 \] \[ \frac{100X}{1.61051} = 1000000 - 326078.25 \approx 673921.75 \] \[ 100X \approx 673921.75 \times 1.61051 \approx 1081809.09 \] \[ X \approx \frac{1081809.09}{100} \approx 10818.09 \]
Шаг 6: Ответ
Таким образом, величина \( X \), при которой вы согласитесь принять облигации, составляет приблизительно 10818.09 рублей.
