Для решения задачи нам нужно разобраться с процессом, который происходит в цилиндрическом сосуде с водяным паром, когда объем уменьшается и происходит конденсация.
Данные задачи:
- Начальное количество водяного пара: ( n = 1 \text{ моль} )
- Начальная температура: ( T )
- Начальное давление: ( p )
- Давление насыщенного пара при температуре ( T ): ( 2p )
- Объем под поршнем уменьшается в 4 раза.
Шаг 1: Определение первоначального состояния
Используем уравнение состояния идеального газа для водяного пара:
[
PV = nRT
]
где:
- ( P ) — давление,
- ( V ) — объем,
- ( n ) — количество вещества (в молях),
- ( R ) — универсальная газовая постоянная,
- ( T ) — температура.
Подставим известные значения:
[
pV_1 = nRT \quad (где , V_1 , — , первоначальный , объем)
]
Шаг 2: Понимание изменений при сжатии объема
После сжатия объём уменьшился в 4 раза, то есть:
[
V_2 = \frac{V_1}{4}
]
Так как температура остаётся неизменной, можем записать уравнение для нового состояния, когда часть водяного пара конденсировалась:
[
P_2V_2 = n_2RT
]
где ( n_2 ) — количество оставшегося водяного пара после конденсации.
Шаг 3: Найдем давление после сжатия
При уменьшении объема, давление в сосуде может увеличиться. Мы знаем, что при данной температуре новое давление будет равно давлению насыщенного пара, так как объем меньше, чем требуемый для 1 моля водяного пара при давлении 2p:
[
P_2 = 2p
]
Подставим значение ( P_2 ) и ( V_2 ) в уравнение состояния:
[
2p \cdot \frac{V_1}{4} = n_2RT
]
Шаг 4: Подстановка и расчет
Используем первоначальное состояние для нахождения ( V_1 ):
[
pV_1 = 1RT \implies V_1 = \frac{RT}{p}
]
Теперь подставим это значение в уравнение для нового состояния:
[
2p \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{RT}{p} = n_2RT
]
Упрощая:
[
\frac{2RT}{4} = n_2RT
]
[
\frac{RT}{2} = n_2RT
]
Отсюда следует:
[
n_2 = \frac{1}{2} \text{ моль}
]
Шаг 5: Конденсация и нахождение массы
Количество конденсировавшейся воды равно разнице между первоначальным количеством и количеством, оставшимся в парообразном состоянии:
[
n_{\text{конденсировавшейся}} = n - n_2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \text{ моль}
]
Теперь найдем массу сконденсировавшейся воды. Молярная масса воды ( M \approx 18 , \text{г/моль} ):
[
m = n_{\text{конденсировавшейся}} \cdot M = \frac{1}{2} \cdot 18 , \text{г/моль} = 9 , \text{г}
]
Ответ:
Масса сконденсировавшейся воды составляет 9 граммов.
