Подробно объясни и реши задачу. В группе велосипедистов 60 чел. , из них девочек - 25 чел. С помощью жребия выбирают группу из 4 чел. для открытия соревнований. Рассчитайте…

Для решения задачи, давайте подробно разберем все шаги. Мы будем использовать понятия из комбинаторики и вероятности.

Дано:

• Общее количество велосипедистов = 60 человек
• Количество девочек (женского пола) = 25 человек
• Количество мальчиков (мужского пола) = 60 - 25 = 35 человек
• Мы должны выбрать группу из 4 человек.

Задача:

Рассчитать вероятность того, что все выбранные окажутся мальчиками.

Шаг 1: Определим общее количество способов выбрать 4 человека из 60.

Общее количество способов выбрать 4 человека из 60 можно вычислить с помощью формулы для сочетаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \( n \) — общее количество (в данном случае 60),
• \( k \) — количество выбираемых (в данном случае 4).

Подсчитаем:

\[ C(60, 4) = \frac{60!}{4!(60-4)!} = \frac{60!}{4! \cdot 56!} \]

Эту формулу можно упростить: \[ C(60, 4) = \frac{60 \times 59 \times 58 \times 57}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

Теперь считаем числитель и знаменатель:

• Числитель:

  • \( 60 \times 59 = 3540 \)
  • \( 3540 \times 58 = 205320 \)
  • \( 205320 \times 57 = 11699440 \)

• Знаменатель:

  • \( 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)

Теперь окончательно считаем: \[ C(60, 4) = \frac{11699440}{24} = 487935 \]

Шаг 2: Определим количество способов выбрать 4 мальчиков.

Теперь подсчитаем количество способов выбрать 4 мальчиков из 35. Используем ту же формулу сочетаний:

\[ C(35, 4) = \frac{35!}{4!(35-4)!} = \frac{35!}{4! \cdot 31!} \]

Упрощая, получаем: \[ C(35, 4) = \frac{35 \times 34 \times 33 \times 32}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

Теперь считаем:

• Числитель:

  • \( 35 \times 34 = 1190 \)
  • \( 1190 \times 33 = 39270 \)
  • \( 39270 \times 32 = 1256640 \)

• Знаменатель:

  • Всё тот же 24.

Теперь окончательно считаем: \[ C(35, 4) = \frac{1256640}{24} = 52360 \]

Шаг 3: Рассчитаем вероятность того, что все выбранные окажутся мальчиками.

Вероятность того, что все выбранные будут мальчиками, вычисляется как отношение количества способов выбрать 4 мальчиков к количеству способов выбрать 4 человека из 60:

\[ P(\text{все мальчики}) = \frac{C(35, 4)}{C(60, 4)} = \frac{52360}{487635} \]

Теперь, чтобы упростить: \[ P(\text{все мальчики}) \approx 0.1073 \quad (\text{или } 10.73\%) \]

Ответ:

Таким образом, вероятность того, что в выбранной группе из 4 человек окажутся только мальчики, составляет примерно 10.73%.