В ящике стола у Кирилла лежат 15 гелевых ручек и 15 шариковых. Мальчик наугад достаёт из ящика ручки до тех пор, пока не вытянет гелевую. Какова вероятность, что гелевая ручка…

Для решения этой задачи нам нужно определить вероятность того, что первая и вторая ручки, которые Кирилл достанет из ящика, будут шариковыми, а третья ручка — гелевой.

Шаг 1: Определим общее количество ручек

В ящике у Кирилла:

• 15 гелевых ручек
• 15 шариковых ручек

Общее количество ручек = 15 (гелевых) + 15 (шариковых) = 30 ручек.

Шаг 2: Определим необходимые события

Мы хотим, чтобы:

1. Первая ручка — шариковая,
2. Вторая ручка — шариковая,
3. Третья ручка — гелевая.

Шаг 3: Вычислим вероятности

3.1 Вероятность того, что первая ручка шариковая

Общее количество ручек = 30.
Количество шариковых ручек = 15.

Вероятность того, что первая ручка шариковая: \[ P_1 = \frac{15}{30} = \frac{1}{2} \]

3.2 Вероятность того, что вторая ручка шариковая

После того как Кирилл достал одну шариковую ручку, в ящике осталось:

• 14 шариковых ручек,
• 15 гелевых.

Общее количество ручек = 30 - 1 = 29.

Вероятность того, что вторая ручка шариковая: \[ P_2 = \frac{14}{29} \]

3.3 Вероятность того, что третья ручка гелевая

После того как Кирилл достал две шариковые ручки, в ящике осталось:

• 15 гелевых ручек,
• 13 шариковых ручек.

Общее количество ручек = 29 - 1 = 28.

Вероятность того, что третья ручка гелевая: \[ P_3 = \frac{15}{28} \]

Шаг 4: Общая вероятность

Теперь мы можем определить общую вероятность того, что первая и вторая ручки шариковые, а третья гелевая, умножив все три вероятности: \[ P = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{14}{29}\right) \cdot \left(\frac{15}{28}\right) \]

Шаг 5: Произведем вычисления

\[ P = \frac{1}{2} \cdot \frac{14}{29} \cdot \frac{15}{28} = \frac{1 \cdot 14 \cdot 15}{2 \cdot 29 \cdot 28} \]

Вычисляем числитель: \[ 14 \cdot 15 = 210 \]

Вычисляем знаменатель: \[ 2 \cdot 29 \cdot 28 = 2 \cdot 812 = 1624 \]

Следовательно, вероятность: \[ P = \frac{210}{1624} \]

Шаг 6: Упрощаем дробь

Теперь нужно упростить дробь: Найдем наибольший общий делитель (НОД) 210 и 1624. Можно определить НОД, воспользовавшись методом деления (например, с помощью алгоритма Евклида).

В результате НОД определяется как 2, и упрощаем дробь: \[ P = \frac{210 \div 2}{1624 \div 2} = \frac{105}{812} \]

Шаг 7: Приведем к десятичной форме

Выражаем в десятичной форме для более простого представления: \[ \frac{105}{812} \approx 0.129 (около 0.1292...) \]

Итог

Вероятность того, что гелевая ручка будет вытянута третьей по счёту, составляет: \[ \approx 0.13 \]

Ответ: 0.13 (округлено до сотых).