Окружность описана около квадрата. Площадь круга, находящегося внутри окружности, равна  2π. Найди радиус вписанной в этот квадрат окружности.

Чтобы решить задачу, начнем с понимания основных геометрических понятий и отношений между квадратом и окружностью. 1. **Обозначения и данные:** - Пусть квадрат имеет сторону \( a \). - Окружность описана около квадрата, следовательно, радиус этой окружности (обозначим его \( R \)) будет равен половине диагонали квадрата. 2. **Находим длину диагонали квадрата:** Диагональ квадрата можно найти по формуле: \[ d = a\sqrt{2} \] Окружность описана вокруг квадрата, поэтому радиус \( R \) равен половине диагонали: \[ R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] 3. **Площадь круга:** Нам известно, что площадь круга внутри окружности равна \( 2\pi \). Площадь круга вычисляется по формуле: \[ S = \pi r^2 \] где \( r \) — радиус окружности, вписанной в квадрат. 4. **Находим радиус вписанной окружности:** Радиус вписанной в квадрат окружности равен: \[ r = \frac{a}{2} \] Теперь выразим площадь круга через радиус \( r \): \[ S = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \pi \frac{a^2}{4} \] 5. **Сравниваем площади:** Зная, что площадь круга равна \( 2\pi \), получаем уравнение: \[ \pi \frac{a^2}{4} = 2\pi \] 6. **Упрощаем уравнение:** Удалим \( \pi \) из обеих сторон: \[ \frac{a^2}{4} = 2 \] Умножим обе стороны на \( 4 \): \[ a^2 = 8 \] Теперь извлечем корень: \[ a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] 7. **Находим радиус вписанной окружности:** Используя радиус вписанной окружности \( r = \frac{a}{2} \), подставим значение \( a \): \[ r = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \] 8. **Ответ:** Радиус вписанной в квадрат окружности равен \( \sqrt{2} \). Таким образом, мы разобрались с задачей шаг за шагом, находя площадь круга и используя свойства квадрата и окружности для нахождения радиуса вписанной окружности.