Окружность описана около квадрата. Площадь круга, находящегося внутри окружности, равна 2π . Найди радиус вписанной в этот квадрат окружности.
Чтобы решить задачу, начнем с понимания основных геометрических понятий и отношений между квадратом и окружностью.
Обозначения и данные:
- Пусть квадрат имеет сторону \( a \).
- Окружность описана около квадрата, следовательно, радиус этой окружности (обозначим его \( R \)) будет равен половине диагонали квадрата.
Находим длину диагонали квадрата: Диагональ квадрата можно найти по формуле: \[ d = a\sqrt{2} \] Окружность описана вокруг квадрата, поэтому радиус \( R \) равен половине диагонали: \[ R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]
Площадь круга: Нам известно, что площадь круга внутри окружности равна \( 2\pi \). Площадь круга вычисляется по формуле: \[ S = \pi r^2 \] где \( r \) — радиус окружности, вписанной в квадрат.
Находим радиус вписанной окружности: Радиус вписанной в квадрат окружности равен: \[ r = \frac{a}{2} \] Теперь выразим площадь круга через радиус \( r \): \[ S = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \pi \frac{a^2}{4} \]
Сравниваем площади: Зная, что площадь круга равна \( 2\pi \), получаем уравнение: \[ \pi \frac{a^2}{4} = 2\pi \]
Упрощаем уравнение: Удалим \( \pi \) из обеих сторон: \[ \frac{a^2}{4} = 2 \] Умножим обе стороны на \( 4 \): \[ a^2 = 8 \] Теперь извлечем корень: \[ a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]
Находим радиус вписанной окружности: Используя радиус вписанной окружности \( r = \frac{a}{2} \), подставим значение \( a \): \[ r = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \]
Ответ: Радиус вписанной в квадрат окружности равен \( \sqrt{2} \).
Таким образом, мы разобрались с задачей шаг за шагом, находя площадь круга и используя свойства квадрата и окружности для нахождения радиуса вписанной окружности.
