Реши

Давайте сначала упростим дробь \( f(x) = \frac{10x^2 - 13x - 3}{-2x^2 + x + 3} \).

Шаг 1: Найдем корни числителя и знаменателя

Числитель: \( 10x^2 - 13x - 3 \)

Это квадратное уравнение, и его корни можно найти, используя дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-3) = 169 + 120 = 289 \]

Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{289}}{20} \] Так как \( \sqrt{289} = 17 \), продолжим: \[ x_1 = \frac{13 + 17}{20} = 1.5 \] \[ x_2 = \frac{13 - 17}{20} = -0.2 \]

Знаменатель: \( -2x^2 + x + 3 \)

\[ D = 1^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 3 = 1 + 24 = 25 \]

Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{-4} = \frac{-1 \pm 5}{-4} \] \[ x_1 = \frac{-1 + 5}{-4} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-1 - 5}{-4} = \frac{-6}{-4} = 1.5 \]

Шаг 2: Упростим дробь

Видно, что \( x = 1.5 \) является общим корнем числителя и знаменателя, следовательно, \((x-1.5)\) можно вынести за скобки:

\[ 10x^2 - 13x - 3 = (x-1.5)(10x + 2) \] \[ -2x^2 + x + 3 = -(x-1.5)(2x + 1) \]

Упрощенная дробь: \[ f(x) = \frac{(x-1.5)(10x+2)}{-(x-1.5)(2x+1)} = \frac{10x+2}{-(2x+1)} \]

Шаг 3: Вычислим значения функции

Теперь подставим значения \( x = -1 \) и \( x = 2 \).

Для \( x = -1 \):

\[ f(-1) = \frac{10(-1) + 2}{-(2(-1) + 1)} = \frac{-10 + 2}{-(-2 + 1)} = \frac{-8}{1} = -8 \]

Для \( x = 2 \):

\[ f(2) = \frac{10(2) + 2}{-(2(2) + 1)} = \frac{20 + 2}{-(4 + 1)} = \frac{22}{-5} = -\frac{22}{5} \]

Ответ:

• Значение при \( x = -1 \): \( f(-1) = -8 \)
• Значение при \( x = 2 \): \( f(2) = -\frac{22}{5} \)