Реши
Чтобы найти наименьшее значение функции \( f(x) = -3x^2 + 6\sqrt{2}x + 24 \), выделим полный квадрат.
Шаг 1: Приведение к стандартному виду квадратичной функции
Функция в стандартной форме:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( a = -3 \), \( b = 6\sqrt{2} \) и \( c = 24 \).
Шаг 2: Выделение полного квадрата
- Вынесем множитель \( a \) за скобки (если он не равен 1):
\[ f(x) = -3(x^2 - \frac{6\sqrt{2}}{3}x) + 24 \] \[ f(x) = -3(x^2 - 2\sqrt{2}x) + 24 \]
- Выделим полный квадрат внутри скобок:
Для выделения полного квадрата используем формулу:
\[ (x - p)^2 = x^2 - 2px + p^2 \]
Здесь: \( 2p = 2\sqrt{2} \), значит, \( p = \sqrt{2} \).
Следовательно:
\[ f(x) = -3((x-\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2) + 24 \]
- Превращаем квадратное выражение:
\[ (x - \sqrt{2})^2 - 2 = (x^2 - 2\sqrt{2}x + 2) - 2 \]
- С учетом полного квадрата:
\[ f(x) = -3((x - \sqrt{2})^2 - 2) + 24 \] \[ f(x) = -3(x - \sqrt{2})^2 + 6 + 24 \] \[ f(x) = -3(x - \sqrt{2})^2 + 30 \]
Шаг 3: Нахождение наибольшего значения
Поскольку перед полным квадратом стоит отрицательный коэффициент (-3), функция достигает наибольшего значения, когда квадрат равен нулю. То есть \( (x - \sqrt{2})^2 = 0 \).
Тогда: \[ x = \sqrt{2} \]
Подставим: \( (x - \sqrt{2})^2 = 0 \), и получаем: \[ f(x) = -3(0) + 30 = 30 \]
Ответ:
Наибольшее значение функции \( f(x) = -3x^2 + 6\sqrt{2}x + 24 \) равно 30.
