Реши

Чтобы найти наименьшее значение функции \( f(x) = -3x^2 + 6\sqrt{2}x + 24 \), выделим полный квадрат. **Шаг 1: Приведение к стандартному виду квадратичной функции** Функция в стандартной форме: \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] где \( a = -3 \), \( b = 6\sqrt{2} \) и \( c = 24 \). **Шаг 2: Выделение полного квадрата** 1. **Вынесем множитель \( a \) за скобки (если он не равен 1):** \[ f(x) = -3(x^2 - \frac{6\sqrt{2}}{3}x) + 24 \] \[ f(x) = -3(x^2 - 2\sqrt{2}x) + 24 \] 2. **Выделим полный квадрат внутри скобок:** Для выделения полного квадрата используем формулу: \[ (x - p)^2 = x^2 - 2px + p^2 \] Здесь: \( 2p = 2\sqrt{2} \), значит, \( p = \sqrt{2} \). Следовательно: \[ f(x) = -3((x-\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2) + 24 \] 3. **Превращаем квадратное выражение:** \[ (x - \sqrt{2})^2 - 2 = (x^2 - 2\sqrt{2}x + 2) - 2 \] 4. **С учетом полного квадрата:** \[ f(x) = -3((x - \sqrt{2})^2 - 2) + 24 \] \[ f(x) = -3(x - \sqrt{2})^2 + 6 + 24 \] \[ f(x) = -3(x - \sqrt{2})^2 + 30 \] **Шаг 3: Нахождение наибольшего значения** Поскольку перед полным квадратом стоит отрицательный коэффициент (-3), функция достигает наибольшего значения, когда квадрат равен нулю. То есть \( (x - \sqrt{2})^2 = 0 \). Тогда: \[ x = \sqrt{2} \] Подставим: \( (x - \sqrt{2})^2 = 0 \), и получаем: \[ f(x) = -3(0) + 30 = 30 \] **Ответ:** Наибольшее значение функции \( f(x) = -3x^2 + 6\sqrt{2}x + 24 \) равно 30.