Давайте разберем задачу шаг за шагом.
У нас есть две команды для исполнителя:
- Умножь на ( b )
- Прибавь 1
Дано, что программа "21212" переводит число 1 в 56. Давайте расшифруем эту программу.
Понимание команд
Каждая цифра в программе соответствует определённой команде:
- 2 – прибавляем 1
- 1 – умножаем на ( b )
Следовательно, программа "21212" представляет собой последовательность действий:
- 2 (прибавить 1)
- 1 (умножить на ( b ))
- 2 (прибавить 1)
- 1 (умножить на ( b ))
- 2 (прибавить 1)
Применение программы
Начинаем с числа 1 и применяем действия по очереди:
Начнем с 1:
- первое действие (прибавить 1):
( 1 + 1 = 2 )
Второе действие (умножить на ( b )):
( 2 \times b = 2b )
Третье действие (прибавить 1):
( 2b + 1 )
Четвёртое действие (умножить на ( b )):
( (2b + 1) \times b = 2b^2 + b )
Пятое действие (прибавить 1):
( 2b^2 + b + 1 )
Установление уравнения
Мы знаем, что после выполнения всех команд результат должен быть 56:
[
2b^2 + b + 1 = 56
]
Теперь упростим уравнение:
[
2b^2 + b + 1 - 56 = 0
]
[
2b^2 + b - 55 = 0
]
Решение квадратного уравнения
Теперь решим квадратное уравнение ( 2b^2 + b - 55 = 0 ). Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}
]
Где:
- ( A = 2 )
- ( B = 1 )
- ( C = -55 )
Подставим значения:
[
D = B^2 - 4AC = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-55) = 1 + 440 = 441
]
Теперь найдем корни:
[
b = \frac{-1 \pm \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 21}{4}
]
Вычислим корни
Первый корень:
[
b_1 = \frac{-1 + 21}{4} = \frac{20}{4} = 5
]
Второй корень:
[
b_2 = \frac{-1 - 21}{4} = \frac{-22}{4} = -5.5
]
Так как ( b ) должно быть положительным, принимаем:
[
b = 5
]
Ответ
Таким образом, значение ( b ) равно 5.
