В начале года к вам пришел ваш поставщик и сказал, что не сможет поставить материалов на 1 000 000 рублей как вы договаривались в том году, однако вернуть эту сумму поставщик не…
В начале года к вам пришел ваш поставщик и сказал, что не сможет поставить материалов на 1 000 000 рублей как вы договаривались в том году, однако вернуть эту сумму поставщик не может - нет денег. Но у него есть 100 облигаций, которые исполняются (“заканчиваются”) через 5 лет. То есть, в течение следующих 5 лет по каждой облигации в конце года платится 1000, а в конце 5 года дополнительно к 1000 еще и номинал облигации Х рублей. Найдите величину Х при которой вы согласитесь принять эти облигации сейчас вместо 1 000 000 деньгами, если ставка по депозиту 10% и следующие 5 лет не будет меняться. Предполагается капитализация процентов. При необходимости, округлите ответ ДО ДВУХ знаков после запятой.
Чтобы решить задачу, нам нужно определить, какую величину номинала облигации (\(X\)) мы должны получить, чтобы принять облигации вместо 1 000 000 рублей и принять во внимание процентную ставку по депозиту в 10%.
Шаг 1: Понять условия
Каждая облигация приносит 1000 рублей в конце каждого года на протяжении 5 лет. В конце 5 года, помимо 1000 рублей, мы также получим номинал облигации \(X\).
Шаг 2: Расчет приведенной стоимости
Чтобы оценить, насколько выгодно принять облигации, мы вычислим приведенную стоимость будущих платежей. Приведенная стоимость (PV) рассчитывается по формуле:
\[ PV = \sum \frac{C}{(1 + r)^t} \]
где:
- \(C\) — каком-либо получаемом протяжении,
- \(r\) — ставка (в данном случае 0,10),
- \(t\) — год (1, 2, 3, 4, 5).
Шаг 3: Расчет доходов от облигаций
У нас имеется 100 облигаций, которые приносят:
\[ PV = 100 \left( \frac{1000}{(1 + 0.1)^1} + \frac{1000}{(1 + 0.1)^2} + \frac{1000}{(1 + 0.1)^3} + \frac{1000}{(1 + 0.1)^4} + \frac{1000 + X}{(1 + 0.1)^5} \right) \]
Шаг 4: Подставим значение и рассчитаем
Расчитаем каждый из платежей:
Первый год: \[ \frac{1000}{(1 + 0.1)^1} = \frac{1000}{1.1} \approx 909.09 \]
Второй год: \[ \frac{1000}{(1 + 0.1)^2} = \frac{1000}{1.21} \approx 826.45 \]
Третий год: \[ \frac{1000}{(1 + 0.1)^3} = \frac{1000}{1.331} \approx 751.31 \]
Четвертый год: \[ \frac{1000}{(1 + 0.1)^4} = \frac{1000}{1.4641} \approx 683.01 \]
Пятый год: \[ \frac{1000 + X}{(1 + 0.1)^5} = \frac{1000 + X}{1.61051} \]
Шаг 5: Сложим все значения
Подставляем вычисленные значения в формулу:
\[ PV = 100 \left( 909.09 + 826.45 + 751.31 + 683.01 + \frac{1000 + X}{1.61051} \right) \]
Сначала вычислим сумму первых четырех частей:
\[ 909.09 + 826.45 + 751.31 + 683.01 \approx 3169.86 \]
Теперь подставим в формулу:
\[ PV = 100 \left( 3169.86 + \frac{1000 + X}{1.61051} \right) \approx 316986 + 62.11 + \frac{X \cdot 100}{1.61051} \]
Шаг 6: Условие равенства
Мы хотим, чтобы приведённая стоимость равнялась 1 000 000, значит:
\[ 316986 + 62.11 + \frac{X \cdot 100}{1.61051} = 1000000 \]
Решение уравнения
Теперь решим уравнение на \(X\):
\[ \frac{X \cdot 100}{1.61051} = 1000000 - 316986 - 62.11 \]
\[ \frac{X \cdot 100}{1.61051} = 683951.89 \]
\[ X \cdot 100 = 683951.89 \cdot 1.61051 \]
\[ X \approx \frac{1100000}{100 \cdot 1.61051} \approx 4237.60 \]
Таким образом, величина \(X\) должна составлять примерно 4237.60 рублей, чтобы мы согласились принять облигации вместо 1 000 000 рублей.
