уравнение окружности: x² + y² = 64 уравнение прямой: y = b Найдите значение b, с которыми прямая имеет две общую точку с окружностью
Для решения этой задачи нам нужно найти такие значения \( b \), при которых прямая \( y = b \) будет иметь две общие точки с окружностью, заданной уравнением \( x^2 + y^2 = 64 \).
Шаг 1: Понять уравнения
Уравнение окружности \( x^2 + y^2 = 64 \):
- Это уравнение окружности с центром в точке \( (0, 0) \) и радиусом \( R = \sqrt{64} = 8 \).
Уравнение прямой \( y = b \):
- Это горизонтальная прямая, которая проходит через точку \( (x, b) \) для всех \( x \).
Шаг 2: Подставим уравнение прямой в уравнение окружности
Чтобы найти точки пересечения, подставим \( y = b \) в уравнение окружности:
\[ x^2 + b^2 = 64 \]
Шаг 3: Решим полученное уравнение на \( x \)
Преобразуем уравнение:
\[ x^2 = 64 - b^2 \]
Теперь нам нужно, чтобы это уравнение имело два различных решения для \( x \). Это произойдёт, когда правая часть \( 64 - b^2 \) будет больше нуля.
Шаг 4: Условие для двух решений
Для того чтобы \( x^2 = 64 - b^2 \) имело два решения, необходимо, чтобы:
\[ 64 - b^2 > 0 \]
Шаг 5: Решим неравенство
Решим неравенство:
\[ 64 > b^2 \]
Теперь извлечем квадратный корень:
\[ -\sqrt{64} < b < \sqrt{64} \]
Это упрощается до:
\[ -8 < b < 8 \]
Итог
Таким образом, значения \( b \) должны находиться в диапазоне:
\[ b \in (-8, 8) \]
Это значит, что прямая \( y = b \) будет пересекать окружность в двух точках, если \( b \) лежит в этом интервале.
