Для решения этой задачи нам нужно найти такие значения ( b ), при которых прямая ( y = b ) будет иметь две общие точки с окружностью, заданной уравнением ( x^2 + y^2 = 64 ).
Шаг 1: Понять уравнения
Уравнение окружности ( x^2 + y^2 = 64 ):
- Это уравнение окружности с центром в точке ( (0, 0) ) и радиусом ( R = \sqrt{64} = 8 ).
Уравнение прямой ( y = b ):
- Это горизонтальная прямая, которая проходит через точку ( (x, b) ) для всех ( x ).
Шаг 2: Подставим уравнение прямой в уравнение окружности
Чтобы найти точки пересечения, подставим ( y = b ) в уравнение окружности:
[
x^2 + b^2 = 64
]
Шаг 3: Решим полученное уравнение на ( x )
Преобразуем уравнение:
[
x^2 = 64 - b^2
]
Теперь нам нужно, чтобы это уравнение имело два различных решения для ( x ). Это произойдёт, когда правая часть ( 64 - b^2 ) будет больше нуля.
Шаг 4: Условие для двух решений
Для того чтобы ( x^2 = 64 - b^2 ) имело два решения, необходимо, чтобы:
[
64 - b^2 > 0
]
Шаг 5: Решим неравенство
Решим неравенство:
[
64 > b^2
]
Теперь извлечем квадратный корень:
[
-\sqrt{64} < b < \sqrt{64}
]
Это упрощается до:
[
-8 < b < 8
]
Итог
Таким образом, значения ( b ) должны находиться в диапазоне:
[
b \in (-8, 8)
]
Это значит, что прямая ( y = b ) будет пересекать окружность в двух точках, если ( b ) лежит в этом интервале.
