В треугольнике M N K MNK угол N M K NMK равен 3 0 ∘ 30 ∘ , M K = K N MK=KN . Найди внешний угол при вершине K

Для решения задачи будем использовать свойства треугольников и знание углов.

1. Дадим обозначения:

   • Угол \( \angle NMK = 30^\circ \).
   • Две стороны \( MK \) и \( KN \) равны (по условию \( MK = KN \)). Это значит, что треугольник \( MKN \) равнобедренный.

2. Найдем угол при вершине \( K \): Поскольку треугольник \( MKN \) равнобедренный, углы \( \angle MKN \) и \( \angle MNK \) равны. Обозначим их как \( x \).

   Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \): \[ \angle NMK + \angle MKN + \angle MNK = 180^\circ \] Подставим известные значения: \[ 30^\circ + x + x = 180^\circ \] \[ 30^\circ + 2x = 180^\circ \] \[ 2x = 180^\circ - 30^\circ \] \[ 2x = 150^\circ \] \[ x = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ \]

   Таким образом, углы:

   • \( \angle MKN = 75^\circ \)
   • \( \angle MNK = 75^\circ \)

3. Найдем внешний угол при вершине \( K \): Внешний угол при вершине \( K \) равен сумме двух внутренних углов, которые не смежные с ним. В нашем случае это углы \( \angle NMK \) и \( \angle MNK \): \[ \text{Внешний угол } K = \angle NMK + \angle MNK \] Подставим значения: \[ \text{Внешний угол } K = 30^\circ + 75^\circ = 105^\circ \]

4. Ответ: Внешний угол при вершине \( K \) равен \( 105^\circ \).