Для решения задачи о выборе участников команды по спортивному многоборью, нужно использовать формулу сочетаний, поскольку порядок выбора участников не имеет значения. В данной задаче нам необходимо выбрать 4 девочки из 13 и 4 мальчика из 16.
Шаг 1: Выбор девочек
Чтобы выбрать 4 девочки из 13, используем формулу сочетаний:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}
]
где ( n ) — общее количество объектов (в нашем случае 13 девочек), ( k ) — количество выбираемых объектов (в нашем случае 4 девочки).
Таким образом, рассматриваем:
[
C(13, 4) = \frac{13!}{4! \cdot (13-4)!} = \frac{13!}{4! \cdot 9!}
]
Теперь вычислим каждую часть:
- ( 13! = 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9! )
- ( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 )
- ( 9! ) сокращается, оставляя:
[
C(13, 4) = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{17160}{24} = 715
]
Итак, существует 715 способов выбрать 4 девочки из 13.
Шаг 2: Выбор мальчиков
Теперь выберем 4 мальчика из 16, используя ту же формулу:
[
C(16, 4) = \frac{16!}{4! \cdot (16-4)!} = \frac{16!}{4! \cdot 12!}
]
Снова вычислим:
- ( 16! = 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12! )
- ( 4! = 24 ) из ранее найденного
Теперь подставляем:
[
C(16, 4) = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{43680}{24} = 1820
]
Итак, существует 1820 способов выбрать 4 мальчика из 16.
Шаг 3: Общее количество способов
Общее число способов выбрать 4 девочки и 4 мальчика будет равно произведению количества способов выбрать девочек и мальчиков:
[
C(13, 4) \times C(16, 4) = 715 \times 1820
]
Теперь произведем умножение:
[
715 \times 1820 = 1301300
]
Ответ
Таким образом, общее количество способов, которыми можно выбрать 4 мальчиков и 4 девочек из 13 девочек и 16 мальчиков, равно 1,301,300.
