Для решения задачи воспользуемся теорией синусов в треугольниках. Имейте в виду, что в треугольнике ABC угол A равен 45°, угол B равен 30°, и длина стороны BC равна ( 21\sqrt{2} ) см. Нам нужно найти длину стороны AC.
Шаг 1: Найти угол C.
Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°:
[
C = 180° - A - B = 180° - 45° - 30° = 105°
]
Шаг 2: Применить закон синусов.
Согласно закону синусов, для любого треугольника справедливо равенство:
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
]
где ( a ), ( b ), и ( c ) — длины сторон, противоположные углам ( A ), ( B ), и ( C ) соответственно. В данном случае:
- ( a = BC = 21\sqrt{2} ) см (противоположная углу A),
- ( b = AC ) (противоположная углу B),
- ( c = AB ) (противоположная углу C, которая нам не нужна).
Шаг 3: Найти значение AC.
Запишем закон синусов относительно сторон и углов, которые нас интересуют:
[
\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}
]
Подставим известные величины:
[
\frac{21\sqrt{2}}{\sin 45°} = \frac{AC}{\sin 30°}
]
Зная, что ( \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} ) и ( \sin 30° = \frac{1}{2} ), подставим их в уравнение:
[
\frac{21\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{1}{2}}
]
Упростим левую часть:
[
21\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 21 \cdot 2 = 42
]
Теперь у нас есть:
[
42 = \frac{AC}{\frac{1}{2}}
]
Умножим обе стороны на ( \frac{1}{2} ):
[
AC = 42 \cdot \frac{1}{2} = 21
]
Ответ:
( AC = 21 ) см.
