Решить

Посмотрим на выражение, которое нужно упростить: \[ \frac{(2 \cdot 6)^7}{25 \cdot 6^6} \] **Шаг 1. Упростим числитель.** Числитель выражения — \((2 \cdot 6)^7\). Сначала найдем произведение внутри скобок: \[ 2 \cdot 6 = 12 \] Теперь возведём 12 в степень 7: \[ (12)^7 \] **Шаг 2. Упростим знаменатель.** Знаменатель выражения — \(25 \cdot 6^6\). **Шаг 3. Попробуем упростить общие множители.** Рассмотрим выражение \(12 = 2^2 \cdot 3\). Значит, \[ (12)^7 = (2^2 \cdot 3)^7 = 2^{14} \cdot 3^7 \] Теперь знаменатель: \[ 25 = 5^2 \quad \text{и у нас есть} \quad 6^6 = (2 \cdot 3)^6 = 2^6 \cdot 3^6 \] Так что знаменатель будет: \[ 25 \cdot 6^6 = 5^2 \cdot 2^6 \cdot 3^6 \] **Шаг 4. Упрощение общей дроби.** Теперь упрощаем общую дробь: \[ \frac{2^{14} \cdot 3^7}{5^2 \cdot 2^6 \cdot 3^6} \] Посмотрим, что можно сократить: - Сократим \(2^6\) в знаменателе с \(2^{14}\) в числителе: \[ 2^{14 - 6} = 2^8 \] - Сократим \(3^6\) в знаменателе с \(3^7\) в числителе: \[ 3^{7 - 6} = 3^1 = 3 \] Таким образом, после сокращения остаток: \[ \frac{2^8 \cdot 3}{5^2} \] Чтобы найти числовой результат: - \(2^8 = 256\) - У нас есть \(3\) Общая числитель: \[ 256 \cdot 3 = 768 \] И знаменатель: \[ 5^2 = 25 \] Таким образом, получаем окончательное выражение: \[ \frac{768}{25} \] Это конечный результат. Если требуется дальнейшее упрощение, можно найти десятичное значение: \[ \frac{768}{25} = 30.72 \] Таким образом, результат упрощённого выражения будет \(30.72\).