Решить

Посмотрим на выражение, которое нужно упростить:

\[ \frac{(2 \cdot 6)^7}{25 \cdot 6^6} \]

Шаг 1. Упростим числитель.

Числитель выражения — \((2 \cdot 6)^7\). Сначала найдем произведение внутри скобок:

\[ 2 \cdot 6 = 12 \]

Теперь возведём 12 в степень 7:

\[ (12)^7 \]

Шаг 2. Упростим знаменатель.

Знаменатель выражения — \(25 \cdot 6^6\).

Шаг 3. Попробуем упростить общие множители.

Рассмотрим выражение \(12 = 2^2 \cdot 3\). Значит,

\[ (12)^7 = (2^2 \cdot 3)^7 = 2^{14} \cdot 3^7 \]

Теперь знаменатель:

\[ 25 = 5^2 \quad \text{и у нас есть} \quad 6^6 = (2 \cdot 3)^6 = 2^6 \cdot 3^6 \]

Так что знаменатель будет:

\[ 25 \cdot 6^6 = 5^2 \cdot 2^6 \cdot 3^6 \]

Шаг 4. Упрощение общей дроби.

Теперь упрощаем общую дробь:

\[ \frac{2^{14} \cdot 3^7}{5^2 \cdot 2^6 \cdot 3^6} \]

Посмотрим, что можно сократить:

• Сократим \(2^6\) в знаменателе с \(2^{14}\) в числителе:

\[ 2^{14 - 6} = 2^8 \]

• Сократим \(3^6\) в знаменателе с \(3^7\) в числителе:

\[ 3^{7 - 6} = 3^1 = 3 \]

Таким образом, после сокращения остаток:

\[ \frac{2^8 \cdot 3}{5^2} \]

Чтобы найти числовой результат:

• \(2^8 = 256\)
• У нас есть \(3\)

Общая числитель:

\[ 256 \cdot 3 = 768 \]

И знаменатель:

\[ 5^2 = 25 \]

Таким образом, получаем окончательное выражение:

\[ \frac{768}{25} \]

Это конечный результат. Если требуется дальнейшее упрощение, можно найти десятичное значение:

\[ \frac{768}{25} = 30.72 \]

Таким образом, результат упрощённого выражения будет \(30.72\).