Для решения этой задачи нам нужно использовать понятия кинетической и потенциальной энергии.
Кинетическая энергия (КЭ): определяется формулой
[
КЭ = \frac{1}{2} m v^2
]
где ( m ) — масса мяча, а ( v ) — его скорость.
Потенциальная энергия (ПЭ): на высоте ( h ) определяется формулой
[
ПЭ = mgh
]
где ( g ) — ускорение свободного падения, примерно равное ( 9.81 , \text{м/с}^2 ).
Если Маша подкидывает мяч со скоростью ( v_0 = 20 , \text{м/с} ), начальная кинетическая энергия мяча будет:
[
КЭ_0 = \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m (20)^2 = 200m , \text{Дж}
]
По условию, ищем высоту, на которой кинетическая энергия мяча уменьшится в 4 раза. Это значит, что новая кинетическая энергия (КЭ) будет:
[
КЭ = \frac{КЭ_0}{4} = \frac{200m}{4} = 50m , \text{Дж}
]
Теперь найдем скорость мяча, когда его кинетическая энергия стала равной ( 50m ):
[
\frac{1}{2} m v^2 = 50m
]
Отсюда можем сократить ( m ) (при условии, что масса не равна нулю):
[
\frac{1}{2} v^2 = 50 \quad \Rightarrow \quad v^2 = 100 \quad \Rightarrow \quad v = 10 , \text{м/с}
]
Теперь нам нужно найти высоту, на которой скорость мяча составляет ( 10 , \text{м/с} ). Мы знаем, что потеря кинетической энергии преобразуется в потенциальную:
[
КЭ_0 - КЭ = ПЭ
]
Подставим значения:
[
200m - 50m = ПЭ \quad \Rightarrow \quad 150m = mgh
]
Сократив массу ( m ) (при условии, что она не равна нулю):
[
150 = gh
]
Теперь подставляем значение ( g = 9.81 , \text{м/с}^2 ):
[
150 = 9.81h \quad \Rightarrow \quad h = \frac{150}{9.81} \approx 15.29 , \text{м}
]
Таким образом, высота, на которой кинетическая энергия мяча уменьшится в 4 раза, составляет примерно 15.29 метров.
