Треугольнике MNK угол N равен 90 sin M = 3/5 MN = 20. Найдите МК.

Для решения данной задачи, начнем с разбора информации, которую мы имеем. У нас есть треугольник \( \triangle MNK \), в котором: - Угол \( N \) равен \( 90^\circ \) (это прямоугольный треугольник). - Синус угла \( M \) равен \( \frac{3}{5} \). - Длина катета \( MN \) равна 20. Мы должны найти длину отрезка \( MK \), который является гипотенузой треугольника. ### Шаг 1: Определим длины катетов В прямоугольном треугольнике с величиной угла \( M \) и синусом, мы можем воспользоваться определением синуса: \[ \sin M = \frac{\text{катет против угла M}}{\text{гипотенуза}} \] В нашем случае, катет против угла \( M \) — это \( NK \) (поскольку угол \( N \) прямой, то \( NK \) против \( M \)), а гипотенуза — это \( MK \). Можно записать: \[ \sin M = \frac{NK}{MK} \] ### Шаг 2: Подставим известные значения У нас есть: \[ \sin M = \frac{3}{5} \] Обозначим длину гипотенузы \( MK = c \). Теперь мы знаем, что: \[ \frac{NK}{c} = \frac{3}{5} \] Следовательно: \[ NK = \frac{3}{5}c \] ### Шаг 3: Найдем длину другого катета \( MN \) По определению, \( MN \) — это катет, прилежащий к углу \( M \). Синусы и косинусы углов тесно связаны, и мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти \( MK \). Из теоремы Пифагора для треугольника \( MNK \): \[ MK^2 = MN^2 + NK^2 \] Где \( MN = 20 \), а \( NK \) мы выразили выше. ### Шаг 4: Найдем \( NK \) Подставляя выражение для \( NK \): \[ NK = \frac{3}{5}c \] Используем теорему Пифагора: \[ c^2 = 20^2 + \left(\frac{3}{5}c\right)^2 \] Это уравнение преобразуем: \[ c^2 = 400 + \frac{9}{25}c^2 \] Умножим всё на 25 для избавления от дробей: \[ 25c^2 = 10000 + 9c^2 \] Переносим все термины на одну сторону: \[ 25c^2 - 9c^2 = 10000 \] \[ 16c^2 = 10000 \] ### Шаг 5: Находим \( c \) Теперь делим обе стороны на 16: \[ c^2 = \frac{10000}{16} = 625 \] И находим \( c \): \[ c = \sqrt{625} = 25 \] ### Ответ Таким образом, длина отрезка \( MK \) равна \( 25 \).