треугольнике MNK угол N равен 90 sin M = 3/5 MN = 20. Найдите МК.
Для решения данной задачи, начнем с разбора информации, которую мы имеем.
У нас есть треугольник \( \triangle MNK \), в котором:
- Угол \( N \) равен \( 90^\circ \) (это прямоугольный треугольник).
- Синус угла \( M \) равен \( \frac{3}{5} \).
- Длина катета \( MN \) равна 20.
Мы должны найти длину отрезка \( MK \), который является гипотенузой треугольника.
Шаг 1: Определим длины катетов
В прямоугольном треугольнике с величиной угла \( M \) и синусом, мы можем воспользоваться определением синуса:
\[ \sin M = \frac{\text{катет против угла M}}{\text{гипотенуза}} \]
В нашем случае, катет против угла \( M \) — это \( NK \) (поскольку угол \( N \) прямой, то \( NK \) против \( M \)), а гипотенуза — это \( MK \). Можно записать:
\[ \sin M = \frac{NK}{MK} \]
Шаг 2: Подставим известные значения
У нас есть:
\[ \sin M = \frac{3}{5} \]
Обозначим длину гипотенузы \( MK = c \). Теперь мы знаем, что:
\[ \frac{NK}{c} = \frac{3}{5} \]
Следовательно:
\[ NK = \frac{3}{5}c \]
Шаг 3: Найдем длину другого катета \( MN \)
По определению, \( MN \) — это катет, прилежащий к углу \( M \). Синусы и косинусы углов тесно связаны, и мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти \( MK \).
Из теоремы Пифагора для треугольника \( MNK \):
\[ MK^2 = MN^2 + NK^2 \]
Где \( MN = 20 \), а \( NK \) мы выразили выше.
Шаг 4: Найдем \( NK \)
Подставляя выражение для \( NK \):
\[ NK = \frac{3}{5}c \]
Используем теорему Пифагора:
\[ c^2 = 20^2 + \left(\frac{3}{5}c\right)^2 \]
Это уравнение преобразуем:
\[ c^2 = 400 + \frac{9}{25}c^2 \]
Умножим всё на 25 для избавления от дробей:
\[ 25c^2 = 10000 + 9c^2 \]
Переносим все термины на одну сторону:
\[ 25c^2 - 9c^2 = 10000 \] \[ 16c^2 = 10000 \]
Шаг 5: Находим \( c \)
Теперь делим обе стороны на 16:
\[ c^2 = \frac{10000}{16} = 625 \]
И находим \( c \):
\[ c = \sqrt{625} = 25 \]
Ответ
Таким образом, длина отрезка \( MK \) равна \( 25 \).
