Для решения этой задачи мы будем использовать формулу сочетаний. Формула сочетаний позволяет нам подсчитать, сколькими способами можно выбрать определенное количество объектов из большего множества, когда порядок выбора не имеет значения.
Шаг 1: Определение сочетаний
Обозначим количество способов выбрать ( k ) объектов из ( n ) как ( C(n, k) ). Эта величина вычисляется по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где ( n! ) (факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до ( n ).
Шаг 2: Выбор из математического класса
В нашем случае из математического класса нам нужно выбрать 5 учеников из 22. Это обозначается как ( C(22, 5) ).
Подставим значения в формулу:
[
C(22, 5) = \frac{22!}{5!(22 - 5)!} = \frac{22!}{5! \cdot 17!}
]
Для вычисления это можно упростить:
[
C(22, 5) = \frac{22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18}{120}
]
Теперь посчитаем числитель:
[
22 \times 21 = 462,
]
[
462 \times 20 = 9240,
]
[
9240 \times 19 = 175560,
]
[
175560 \times 18 = 3160800.
]
Теперь разделим на 120:
[
C(22, 5) = \frac{3160800}{120} = 26340.
]
Шаг 3: Выбор из филологического класса
Теперь посчитаем, сколько способов выбрать 7 учеников из 17 филологического класса. Это будет ( C(17, 7) ).
Подставляем:
[
C(17, 7) = \frac{17!}{7!(17 - 7)!} = \frac{17!}{7! \cdot 10!} = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}.
]
Теперь посчитаем числитель:
[
17 \times 16 = 272,
]
[
272 \times 15 = 4080,
]
[
4080 \times 14 = 57120,
]
[
57120 \times 13 = 742560,
]
[
742560 \times 12 = 8910720,
]
[
8910720 \times 11 = 98077920.
]
Теперь разделим на 5040 (это ( 7! = 5040 )):
[
C(17, 7) = \frac{98077920}{5040} = 19448.
]
Шаг 4: Общее количество способов
Теперь, чтобы найти общее количество способов выбрать учеников из обоих классов, нужно перемножить количества способов:
[
\text{Общее количество способов} = C(22, 5) \times C(17, 7) = 26340 \times 19448.
]
Выполним умножение:
[
26340 \times 19448 = 512737320.
]
Ответ
Таким образом, общее количество способов выбрать 5 учеников из математического класса и 7 учеников из филологического класса составляет 512737320 способов.
