Найди сумму первых десяти членов арифметической прогрессии ( a n ) (a n ​ ) , если a 1 = 3 a 1 ​ =3 , d = 5 d=5 .

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается добавлением постоянного значения (называемого разностью прогрессии) к предыдущему. Ваша задача заключается в нахождении суммы первых десяти членов этой арифметической прогрессии.

Дано:

• Первый член прогрессии (a₁) = 3
• Разность прогрессии (d) = 5
• Количество членов (n) = 10

Шаг 1: Вычислить первые десять членов арифметической прогрессии

Формула для n-го члена арифметической прогрессии выглядит так: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]

Найдем первые 10 членов:

1. \( a_1 = 3 \)
2. \( a_2 = a_1 + d = 3 + 5 = 8 \)
3. \( a_3 = a_2 + d = 8 + 5 = 13 \)
4. \( a_4 = a_3 + d = 13 + 5 = 18 \)
5. \( a_5 = a_4 + d = 18 + 5 = 23 \)
6. \( a_6 = a_5 + d = 23 + 5 = 28 \)
7. \( a_7 = a_6 + d = 28 + 5 = 33 \)
8. \( a_8 = a_7 + d = 33 + 5 = 38 \)
9. \( a_9 = a_8 + d = 38 + 5 = 43 \)
10. \( a_{10} = a_9 + d = 43 + 5 = 48 \)

Итак, первые десять членов прогрессии: 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48

Шаг 2: Вычислить сумму первых десяти членов

Сумма первых n членов арифметической прогрессии рассчитывается с помощью следующей формулы: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] где:

• \( S_n \) — сумма первых n членов,
• \( n \) — количество членов,
• \( a_1 \) — первый член,
• \( a_n \) — n-й член.

Для нашей задачи:

• \( n = 10 \)
• \( a_1 = 3 \)
• \( a_{10} = 48 \) (последний член, который мы нашли ранее)

Теперь подставим значения в формулу: \[ S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (3 + 48) \] \[ S_{10} = 5 \cdot 51 \] \[ S_{10} = 255 \]

Ответ

Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 255.