1. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса если он получен вращением трапеции ABCD вокруг стороны AD в которой CD = 6 BC = 10 угол а = 90°, угол b = 60°. 2. Найдите площадь полной поверхности усечённого конуса если радиус основания равно 3 и 6 а высота 4. 3. Найдите объём усечённого конуса если радиус основания равны 1 и 2 а образующая наклонена под углом 45° к плоскости основания.

Давайте разберем каждую из задач по отдельности. ### Задача 1: Площадь боковой поверхности усечённого конуса **Дано:** трапеция ABCD вращается вокруг стороны AD, где - CD = 6 - BC = 10 - угол α = 90° - угол β = 60° **Решение:** 1. Определите высоту трапеции. Поскольку угол α = 90°, это означает, что AD перпендикулярна CD. Из треугольника ABC с углом β = 60° можно использовать свойство синуса: \[ h = BC \cdot \sin(β) = 10 \cdot \sin(60°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \] 2. Теперь необходимо найти радиусы оснований усечённого конуса. - Нижний радиус (R) = CD = 6 - Верхний радиус (r) = BC = 10 3. Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле: \[ S_{бок} = \pi (R + r) l \] где \( l \) — образующая. Образующую можно найти через Пифагора: \[ l = \sqrt{(r - R)^2 + h^2} = \sqrt{(10 - 6)^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 75} = \sqrt{91} \] 4. Подставляем значения в формулу: \[ S_{бок} = \pi (6 + 10) \sqrt{91} = 16\pi \sqrt{91} \] ### Задача 2: Площадь полной поверхности усечённого конуса **Дано:** - радиусы основания \( R = 6 \), \( r = 3 \) - высота \( h = 4 \) **Решение:** 1. Площадь полной поверхности усечённого конуса рассчитывается по формуле: \[ S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} + S_{верх} \] где: - \( S_{бок} = \pi (R + r) l \) - \( S_{осн} = \pi R^2 \) - \( S_{верх} = \pi r^2 \) 2. Найдите образующую \( l \): \[ l = \sqrt{(R - r)^2 + h^2} = \sqrt{(6 - 3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \] 3. Теперь подставим все значения: - \( S_{осн} = \pi R^2 = \pi (6^2) = 36\pi \) - \( S_{верх} = \pi r^2 = \pi (3^2) = 9\pi \) - \( S_{бок} = \pi (6 + 3) \cdot 5 = 45\pi \) 4. Подсчитаем общую площадь: \[ S_{полн} = 45\pi + 36\pi + 9\pi = 90\pi \] ### Задача 3: Объём усечённого конуса **Дано:** - радиусы оснований \( R = 2 \), \( r = 1 \) - образующая наклонена под углом 45° к основанию. **Решение:** 1. Объём усечённого конуса рассчитывается по формуле: \[ V = \frac{h}{3} \pi (R^2 + R \cdot r + r^2) \] 2. Сначала найдем высоту \( h \). Если образующая наклонена под углом 45°, то высота равна радиусу основания (по свойствам треугольника): \[ h = R - r = 2 - 1 = 1 \] 3. Теперь подставим значения в формулу объёма: \[ V = \frac{1}{3} \pi (2^2 + 2 \cdot 1 + 1^2) = \frac{1}{3} \pi (4 + 2 + 1) = \frac{1}{3} \pi \cdot 7 = \frac{7\pi}{3} \] ### Итоги 1. Площадь боковой поверхности усечённого конуса: \( 16\pi \sqrt{91} \) 2. Полная площадь поверхности: \( 90\pi \) 3. Объём усечённого конуса: \( \frac{7\pi}{3} \) Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как решать задачи, связанные с усечёнными конусами!