P(X=4) = C(10,4) * 0,8^4 * (1-0,8)^(10-4).

Для того чтобы понять, как решается данная задача, давайте разберем её по шагам.

Представленная формула — это формула для вычисления вероятности в биномиальном распределении.

Шаг 1: Понимание биномиального распределения

Биномиальное распределение описывает ситуацию, в которой есть фиксированное количество независимых испытаний (обычно это попытки), каждое из которых имеет два возможных результата: успех (обычно обозначается как «1») и неуспех («0»). В нашем случае:

• \( n = 10 \) — это общее число испытаний.
• \( X = 4 \) — это число успехов (в нашем случае, число раз, когда успешным завершением дела стало число 4).
• \( p = 0,8 \) — вероятность успеха в каждом испытании.
• \( (1-p) = 0,2 \) — вероятность неуспеха.

Шаг 2: Понимание содержания формулы

Формула выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

Где:

• \( P(X = k) \) — вероятность того, что из \( n \) испытаний произойдет ровно \( k \) успехов.
• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
• \( p^k \) — вероятность успеха, возведенная в степень \( k \) (количество успехов).
• \( (1-p)^{n-k} \) — вероятность неуспеха, возведенная в степень \( (n-k) \) (количество неуспехов).

Шаг 3: Подставляем значения

Теперь подставляем наши значения в формулу:

\[ P(X = 4) = C(10, 4) \cdot (0,8)^4 \cdot (0,2)^{10-4} \]

Шаг 4: Вычисляем биномиальный коэффициент \( C(10, 4) \)

\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \]

Вычислим это значение:

• \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6! \)
• Тогда \( C(10, 4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4!} \)

Теперь \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \), подставляем:

\[ C(10, 4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{24} = \frac{5040}{24} = 210 \]

Шаг 5: Подсчитываем вероятности

Теперь подставляем найденное значение в основную формулу:

1. \((0,8)^4 = 0,4096\)
2. \((0,2)^{6} = 0,000064\)

Теперь мы можем вычислить \( P(X = 4) \):

\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0,4096 \cdot 0,000064 \]

Шаг 6: Завершение вычислений

Теперь посчитаем:

\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0,4096 \cdot 0,000064 \approx 0,000558 \]

Таким образом, вероятность того, что из 10 испытаний произойдет ровно 4 успеха при вероятности успеха 0,8, составляет примерно 0.000558 или 0.0558%.

На этом решение завершено. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам надо объяснить какой-то конкретный шаг подробнее, не стесняйтесь спрашивать!