Для решения этой задачи давайте обозначим:
- ( n ) — количество дней, за которое Лена составила все задачи.
- ( a_1 = 67 ) — количество задач, составленных в первый день.
- ( a_n = 67 + (n-1)d ) — количество задач, составленных в последний день, где ( d ) — количество задач, на которое Лена увеличивает количество выполняемых задач каждый день.
Пусть Лена составляет задачи по следующей формуле:
[
S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
]
Согласно условию, общее количество задач составляет 536:
[
S_n = 536
]
Подставим наше выражение для суммы:
[
\frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = 536
]
Заменим ( a_n ):
[
\frac{n}{2} \cdot \left(67 + \left(67 + (n-1)d\right)\right) = 536
]
Упрощаем:
[
\frac{n}{2} \cdot (134 + (n-1)d) = 536
]
Умножаем обе стороны на 2:
[
n(134 + (n-1)d) = 1072
]
Теперь нам необходимо найти ( d ) и ( n ). Заметим, что ( d ) — это разница между количеством задач за сисящие дни.
Если мы будем использовать ( d = 0 ) (Лена не увеличивает количество задач), то сумма не будет равна 536, так как ( a_1 = a_n = 67 ) и ( n ) будет равно:
( n \cdot 67 = 536 ) → ( n = \frac{536}{67} \approx 8 ).
Однако, это противоречит условию увеличения. Поэтому мы попробуем подбирать значение ( d ) и решать ( n ) вручную.
Если предположим ( d = 1 ):
Порядок задач за дни будет: 67, 68, 69, ..., и тогда сумма получается на n днях:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (67 + (67 + (n-1) \cdot 1)) = \frac{n}{2} \cdot (134 + n - 1) = \frac{n(133 + n)}{2} = 536
]
Умножим обе стороны на 2:
[
n(133 + n) = 1072
]
Теперь мы получаем квадратное уравнение:
[
n^2 + 133n - 1072 = 0
]
Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = 133^2 + 4 \cdot 1072 = 17689 + 4288 = 21977
]
Используем формулу корней:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-133 \pm \sqrt{21977}}{2}
]
Вычисляя, находим, что
(\sqrt{21977} \approx 148.31)
Подстановка корень:
[
n = \frac{-133 + 148.31}{2} \approx 7.65 \implies 8
]
Проще будет подставить ( n = 8 ) (так как только целые дни имеют смысл) для получения ( d ):
Подходящий ( d ):
Сумма:
[
8(67 + \frac{7 \cdot d}{2}) = 536
]
Возрастает каждый день, предполагаем что на 2 или 3:
Таким образом, Лена составляет задачи в течение 8 дней.
Итак, Лена составила все задачи за 8 дней.
