реши квадратичное уравнение 1/(x+5)² – 4/x+5 – 5 =0
Чтобы решить квадратное уравнение \( \frac{1}{(x+5)^2} - \frac{4}{x+5} - 5 = 0 \), начнем с упрощения и приведения его к более удобному виду.
Первым делом, давайте сделаем замену. Обозначим: \[ y = x + 5. \] Тогда наше уравнение можно переписать как: \[ \frac{1}{y^2} - \frac{4}{y} - 5 = 0. \]
Умножим уравнение на \( y^2 \) (при этом \( y \neq 0 \)), чтобы избавиться от дробей: \[ 1 - 4y - 5y^2 = 0. \] Перепишем уравнение в стандартной форме: \[ -5y^2 - 4y + 1 = 0. \] Умножим все на -1, чтобы переделать знак: \[ 5y^2 + 4y - 1 = 0. \]
Теперь применим формулу корней квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \( a = 5 \), \( b = 4 \), и \( c = -1 \).
Рассчитаем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36. \]
Найдем корни уравнения: \[ y = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 \pm 6}{10}. \] Теперь у нас будет два корня: \[ y_1 = \frac{-4 + 6}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}, \] \[ y_2 = \frac{-4 - 6}{10} = \frac{-10}{10} = -1. \]
Вернемся к переменной \( x \), вспомнив, что \( y = x + 5 \): \[ x + 5 = \frac{1}{5} \implies x = \frac{1}{5} - 5 = \frac{1}{5} - \frac{25}{5} = -\frac{24}{5}, \] \[ x + 5 = -1 \implies x = -1 - 5 = -6. \]
Таким образом, у нас есть два решения для уравнения: \[ x_1 = -\frac{24}{5}, \quad x_2 = -6. \]
Проверим, что \( x + 5 \neq 0 \) для каждого из найденных решений:
- Для \( x_1 = -\frac{24}{5} \) имеем \( x_1 + 5 = -\frac{24}{5} + \frac{25}{5} = \frac{1}{5} \neq 0 \).
- Для \( x_2 = -6 \) имеем \( -6 + 5 = -1 \neq 0 \).
Окончательные решения: \[ x_1 = -\frac{24}{5}, \quad x_2 = -6. \]
