Денис и Настя получили задание — покрасить забор длиной 360 метров у бабушки в деревне. Они решили, что будут увеличивать норму покраски на одно и то же число метров каждый день.…

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Известные данные:

   • Общая длина забора: 360 метров.
   • Сумма покраски первого и последнего дня: 60 метров.
   • Денис и Настя увеличивают норму покраски на одно и то же количество метров каждый день.

2. Обозначения:

   • Пусть x - это количество метров, которое они покрасят в первый день.
   • Пусть d - это увеличение нормы покраски на каждый следующий день.
   • Пусть n - количество дней, за которые они покрасили забор.

3. Нормы покраски:

   • Первый день: \( x \) метров.
   • Второй день: \( x + d \) метров.
   • Третий день: \( x + 2d \) метров. -...
   • Последний (n-й) день: \( x + (n-1)d \) метров.

4. Сумма покраски за первый и последний день:
   По условию задачи: \[ x + (x + (n-1)d) = 60 \] Упрощая это уравнение, мы получаем: \[ 2x + (n-1)d = 60 \quad (1) \]

5. Сумма покраски за все n дней:
   Общая сумма покрашенного за n дней: \[ S = x + (x + d) + (x + 2d) + ... + (x + (n - 1)d) \] Это арифметическая прогрессия. Сумма ее можно выразить так: \[ S = n \cdot x + d \cdot \frac{(n-1)n}{2} \]

6. Условие общей покраски:
   По условию: \[ S = 360 \]

Следовательно: \[ n \cdot x + d \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 360 \quad (2) \]

7. Подстановка:
   Теперь у нас есть две системы уравнений (1) и (2). Рассмотрим систему.

Из уравнения (1) выразим \( d \): \[ (n-1)d = 60 - 2x \implies d = \frac{60 - 2x}{n-1} \]

Теперь подставим \( d \) в уравнение (2): \[ n \cdot x + \frac{60 - 2x}{n-1} \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 360 \] Упрощаем: \[ n \cdot x + (60 - 2x) \cdot \frac{n}{2} = 360 \] Прибавляем подобные: \[ n \cdot x + 30n - xn = 360 \] Этого мы не ждали, значит \( 30n = 360 \), отсюда: \[ n = 12 \]

8. Подытожим:
   Таким образом, на покраску забора Денису и Насте потребовалось 12 дней.