Денис и Настя получили задание — покрасить забор длиной 360 метров у бабушки в деревне. Они решили, что будут увеличивать норму покраски на одно и то же число метров каждый день. Закончив работу, ребята посчитали, что за первый и последний день в сумме они покрасили 60 метров забора. Сколько дней ушло у них на покраску забора?

Давайте разберем задачу шаг за шагом. 1. **Известные данные:** - Общая длина забора: 360 метров. - Сумма покраски первого и последнего дня: 60 метров. - Денис и Настя увеличивают норму покраски на одно и то же количество метров каждый день. 2. **Обозначения:** - Пусть `x` - это количество метров, которое они покрасят в первый день. - Пусть `d` - это увеличение нормы покраски на каждый следующий день. - Пусть `n` - количество дней, за которые они покрасили забор. 3. **Нормы покраски:** - Первый день: \( x \) метров. - Второй день: \( x + d \) метров. - Третий день: \( x + 2d \) метров. -... - Последний (n-й) день: \( x + (n-1)d \) метров. 4. **Сумма покраски за первый и последний день:** По условию задачи: \[ x + (x + (n-1)d) = 60 \] Упрощая это уравнение, мы получаем: \[ 2x + (n-1)d = 60 \quad (1) \] 5. **Сумма покраски за все n дней:** Общая сумма покрашенного за n дней: \[ S = x + (x + d) + (x + 2d) + ... + (x + (n - 1)d) \] Это арифметическая прогрессия. Сумма ее можно выразить так: \[ S = n \cdot x + d \cdot \frac{(n-1)n}{2} \] 6. **Условие общей покраски:** По условию: \[ S = 360 \] Следовательно: \[ n \cdot x + d \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 360 \quad (2) \] 7. **Подстановка:** Теперь у нас есть две системы уравнений (1) и (2). Рассмотрим систему. Из уравнения (1) выразим \( d \): \[ (n-1)d = 60 - 2x \implies d = \frac{60 - 2x}{n-1} \] Теперь подставим \( d \) в уравнение (2): \[ n \cdot x + \frac{60 - 2x}{n-1} \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 360 \] Упрощаем: \[ n \cdot x + (60 - 2x) \cdot \frac{n}{2} = 360 \] Прибавляем подобные: \[ n \cdot x + 30n - xn = 360 \] Этого мы не ждали, значит \( 30n = 360 \), отсюда: \[ n = 12 \] 8. **Подытожим:** Таким образом, на покраску забора Денису и Насте потребовалось 12 дней.