. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.

Давайте решим задачу о вероятности достижения успеха при определенном количестве выстрелов, используя подход биномиального распределения.

В данной задаче:

• Вероятность успеха (попадания) в одном выстреле \( p = 0,9 \).
• Общее количество выстрелов \( n = 20 \).
• Мы хотим найти вероятность того, что число удачных выстрелов (попаданий) будет от 16 до 19 включительно.

Биномиальное распределение

События подчиняются биномиальному распределению, которое описывается формулой:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( P(X = k) \) — вероятность получить ровно \( k \) успехов,
• \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
• \( p \) — вероятность успеха (попадания),
• \( n \) — общее количество испытаний,
• \( (1 - p) \) — вероятность неудачи.

Делаем расчеты

Нам нужно найти вероятности для \( k = 16 \), \( k = 17 \), \( k = 18 \) и \( k = 19 \), а затем суммировать их.

1. Вероятность для \( k = 16 \)

\[ P(X = 16) = \binom{20}{16} (0.9)^{16} (0.1)^{4} \]

Расчет \( \binom{20}{16} \): \[ \binom{20}{16} = \binom{20}{4} = \frac{20!}{4!16!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845 \]

Теперь подставим в формулу: \[ P(X = 16) = 4845 \cdot (0.9)^{16} \cdot (0.1)^{4} \] Расчет \( (0.9)^{16} \approx 0.1350851717672992 \) Расчет \( (0.1)^{4} = 0.0001 \)

Теперь можем найти: \[ P(X = 16) \approx 4845 \cdot 0.1350851717672992 \cdot 0.0001 \approx 0.065437221612552 \approx 0.0654 \]

2. Вероятность для \( k = 17 \)

\[ P(X = 17) = \binom{20}{17} (0.9)^{17} (0.1)^{3} \]

Расчет \( \binom{20}{17} = \binom{20}{3} \): \[ \binom{20}{3} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140 \]

Теперь подставим: \[ P(X = 17) = 1140 \cdot (0.9)^{17} \cdot (0.1)^{3} \] Расчет \( (0.9)^{17} \approx 0.12157665459056929 \) Расчет \( (0.1)^{3} = 0.001 \)

Теперь можем найти: \[ P(X = 17) \approx 1140 \cdot 0.12157665459056929 \cdot 0.001 \approx 0.138994859236272 \approx 0.1390 \]

3. Вероятность для \( k = 18 \)

\[ P(X = 18) = \binom{20}{18} (0.9)^{18} (0.1)^{2} \]

Расчет \( \binom{20}{18} = \binom{20}{2} \): \[ \binom{20}{2} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190 \]

Теперь подставим: \[ P(X = 18) = 190 \cdot (0.9)^{18} \cdot (0.1)^{2} \] Расчет \( (0.9)^{18} \approx 0.10995116277760856 \) Расчет \( (0.1)^{2} = 0.01 \)

Теперь можем найти: \[ P(X = 18) \approx 190 \cdot 0.10995116277760856 \cdot 0.01 \approx 0.208904974478 \ \approx 0.2090 \]

4. Вероятность для \( k = 19 \)

\[ P(X = 19) = \binom{20}{19} (0.9)^{19} (0.1)^{1} \]

Расчет \( \binom{20}{19} = \binom{20}{1} = 20 \)

Теперь подставим: \[ P(X = 19) = 20 \cdot (0.9)^{19} \cdot (0.1)^{1} \] Расчет \( (0.9)^{19} \approx 0.09841509860725665 \) Расчет \( (0.1)^{1} = 0.1 \)

Теперь можем найти: \[ P(X = 19) \approx 20 \cdot 0.09841509860725665 \cdot 0.1 \approx 0.19683019721451215 \approx 0.1968 \]

Суммируем вероятности

Теперь объединяем все вероятности для \( k = 16, 17, 18, 19 \):

\[ P(16 \leq X \leq 19) = P(X = 16) + P(X = 17) + P(X = 18) + P(X = 19) \]

\[ P(16 \leq X \leq 19) \approx 0.0654 + 0.1390 + 0.2090 + 0.1968 \approx 0.6102 \]

Ответ

Вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19, составляет примерно 0.6102 или 61,02%.