. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.

Давайте решим задачу о вероятности достижения успеха при определенном количестве выстрелов, используя подход биномиального распределения. В данной задаче: - **Вероятность успеха (попадания)** в одном выстреле \( p = 0,9 \). - **Общее количество выстрелов** \( n = 20 \). - Мы хотим найти вероятность того, что **число удачных выстрелов (попаданий)** будет от 16 до 19 включительно. ### Биномиальное распределение События подчиняются биномиальному распределению, которое описывается формулой: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \] где: - \( P(X = k) \) — вероятность получить ровно \( k \) успехов, - \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \), - \( p \) — вероятность успеха (попадания), - \( n \) — общее количество испытаний, - \( (1 - p) \) — вероятность неудачи. ### Делаем расчеты Нам нужно найти вероятности для \( k = 16 \), \( k = 17 \), \( k = 18 \) и \( k = 19 \), а затем суммировать их. #### 1. Вероятность для \( k = 16 \) \[ P(X = 16) = \binom{20}{16} (0.9)^{16} (0.1)^{4} \] Расчет \( \binom{20}{16} \): \[ \binom{20}{16} = \binom{20}{4} = \frac{20!}{4!16!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845 \] Теперь подставим в формулу: \[ P(X = 16) = 4845 \cdot (0.9)^{16} \cdot (0.1)^{4} \] Расчет \( (0.9)^{16} \approx 0.1350851717672992 \) Расчет \( (0.1)^{4} = 0.0001 \) Теперь можем найти: \[ P(X = 16) \approx 4845 \cdot 0.1350851717672992 \cdot 0.0001 \approx 0.065437221612552 \approx 0.0654 \] #### 2. Вероятность для \( k = 17 \) \[ P(X = 17) = \binom{20}{17} (0.9)^{17} (0.1)^{3} \] Расчет \( \binom{20}{17} = \binom{20}{3} \): \[ \binom{20}{3} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140 \] Теперь подставим: \[ P(X = 17) = 1140 \cdot (0.9)^{17} \cdot (0.1)^{3} \] Расчет \( (0.9)^{17} \approx 0.12157665459056929 \) Расчет \( (0.1)^{3} = 0.001 \) Теперь можем найти: \[ P(X = 17) \approx 1140 \cdot 0.12157665459056929 \cdot 0.001 \approx 0.138994859236272 \approx 0.1390 \] #### 3. Вероятность для \( k = 18 \) \[ P(X = 18) = \binom{20}{18} (0.9)^{18} (0.1)^{2} \] Расчет \( \binom{20}{18} = \binom{20}{2} \): \[ \binom{20}{2} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190 \] Теперь подставим: \[ P(X = 18) = 190 \cdot (0.9)^{18} \cdot (0.1)^{2} \] Расчет \( (0.9)^{18} \approx 0.10995116277760856 \) Расчет \( (0.1)^{2} = 0.01 \) Теперь можем найти: \[ P(X = 18) \approx 190 \cdot 0.10995116277760856 \cdot 0.01 \approx 0.208904974478 \ \approx 0.2090 \] #### 4. Вероятность для \( k = 19 \) \[ P(X = 19) = \binom{20}{19} (0.9)^{19} (0.1)^{1} \] Расчет \( \binom{20}{19} = \binom{20}{1} = 20 \) Теперь подставим: \[ P(X = 19) = 20 \cdot (0.9)^{19} \cdot (0.1)^{1} \] Расчет \( (0.9)^{19} \approx 0.09841509860725665 \) Расчет \( (0.1)^{1} = 0.1 \) Теперь можем найти: \[ P(X = 19) \approx 20 \cdot 0.09841509860725665 \cdot 0.1 \approx 0.19683019721451215 \approx 0.1968 \] ### Суммируем вероятности Теперь объединяем все вероятности для \( k = 16, 17, 18, 19 \): \[ P(16 \leq X \leq 19) = P(X = 16) + P(X = 17) + P(X = 18) + P(X = 19) \] \[ P(16 \leq X \leq 19) \approx 0.0654 + 0.1390 + 0.2090 + 0.1968 \approx 0.6102 \] ### Ответ Вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19, составляет примерно **0.6102** или **61,02%**.